2020-04-07
115Задачи допуска к экзамену
Решение систем уравнений
Решить систему уравнений, используя формулы Крамера, матричный метод, метод Гаусса. Сделать проверку решения.
Аналитическая геометрия
1. Плоскость проходит через три точки 
, 
. Вычислить:
а) расстояние от точки 
до данной плоскости;
б) острый угол между данной плоскостью и плоскостью 
2. Даны две плоскости 
и 
. При каких значениях k эти плоскости:
а) параллельны;
б) перпендикулярны?
3. Дан треугольник 
: 
Найти:
а) длину стороны 
б) уравнение стороны
в) уравнение высоты 
г) длину высоты
д) координаты точки Н;
е) уравнение медианы 
4. Найти радиус окружности и ее центр, если ее уравнение имеет вид:
в) 
5. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
а) его полуоси равны 5 и 3;
б) большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 6;
в) расстояние между фокусами равно 12, а эксцентриситет равен 0,6;
г) большая ось равна 30, а эксцентриситет равен 0,6;
д) точка эллипса 
а малая ось равна 6; е) точки эллипса 
и 
6. Составить каноническое уравнение параболы, если:
а) расстояние между фокусом и директрисой равно 4;
б) фокус находится в точке 
в) она проходит через точку 
7. Составить уравнение линии на плоскости, каждая точка которой равноудалена от точки 
и от оси Ох.
8. Составить уравнение линии на плоскости, каждая точка которой находится втрое ближе к точке 
, чем к точке 
Преобразовать к каноническому виду уравнения, построить кривые, определить все характеристики полученной кривой:
9. 9 х 2+4 у 2 – 54 х – 32 у +109=0.
10. х 2 – у 2 – 4 х +2 у +7=0.
11. х 2 – 9 у 2+2 х – 36 у – 44=0.
12. у = х 2+4 х +5.
.
13. 4 х 2+9 у 2 – 8 х – 36 у +4=0.
Векторная алгебра
14. Даны векторы 
, 
, 
. Вычислить:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
15. Даны координаты вершин пирамиды 
, 
, 
, 
. Вычислить:
а) внутренний угол при вершине А в треугольнике АВС;
б) проекцию вектора 
на направление вектора 
;
в) площадь треугольника АВС;
г) длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В на сторону АС; д) объем пирамиды АВСD.
16. Найти значение х при котором четыре точки 
, 
, 
, 
лежат в одной плоскости.
Пределы
17. 
.
18. 
.
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
.
27. 
.
28. 
29. 
30. 
Производные
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
37. 
38. 
39. 
40. 
41. 
42. 
43. 
44. 
при 
45. 
46. 
47. 
48. 
Найти производные второго порядка.
49. 
50. 
Уравнения касательной и нормали
Написать уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках.
51. 
в точке (1;2).
52. 
в точке пересечения с осью ОХ.
53. 
в точке (2,-1).
54. 
при 
.
Найти дифференциалы функций.
55. 
56. 
57. 
Ответы
1. а) 6; б) 
2. а) -4; б) 5.
3. а) 10; б) 
в) 
г) 10; д) 
е)
4. 5, 
5. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
6. а) 
б) 
в) 
7. 
8. 
9. 
. 10. 
.
11. 
. 12. (х +2)2= у – 1. 13. 
.
14. а) 3; б) 
; в) 2; г) 
; д) 50.
15. а) 
; б) -4; в) 12,5; г) 5; д) 11.
16. 0,5. 17. 
. 18. 
19. 4. 20. 
21. 
22. 
23. 3. 24. 
25. 2. 26. 0. 27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
3 2. 
3 3. 
3 4. 
35. 
36. 
37. 
38. 
39. 
40. 
41. 
42. 
43. 
44. 1.
45. 
46. 
4 7. 
48. 
49. 
50. 
51. 
52. 
53. 
54. 
55. 
56. 
57. 
