Теоремы о вероятностях событий

Математическая Вероятность.

Определение вероятности

Вероятность — это числовая характеристика возможности наступления какого-либо события. Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих его наступлению, к числу n всех возможных случаев. Обозначение:

 

 

Если событие наступить не может, оно называется невозможным. Вероятность невозможного события равна 0. Если событие непременно наступает, оно называется достоверным. Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность события — число из отрезка [0; 1].

Произведением событий А и В называется событие С = AB, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А, и событие В, то есть оба события произошли.

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из них, то есть в наступлении события А, или события В, или обоих этих событий вместе.

Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются несовместными.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.

Теоремы о вероятностях событий

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей:

 

 

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

 

 

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Пусть А и В — зависимые события. Условной вероятностью P_A (B) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило: