Все остальные более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим

Алгоритм решения:

1. Уравнять основания логарифмов;

2. Сравнить подлогарифмические выражения:

- при сохранить знак неравенства;

- при изменить знак неравенства на противоположный;

3. Учесть ОДЗ.

Пример 3. Решите неравенство:

Решение. Основания логарифмов равны и меньше единицы, По схеме (2) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из них. Имеем систему

Пример 4. Решить неравенство: Решение. В левой части log, а в правой число. Приведем к виду log_af(x) ≥ log_ag(x). Для этого число в правой части представим в виде логарифма с тем же основанием, что логарифм в левой части, т.е.

применили

Итак, имеем неравенство:

Основание логарифмов равны и меньше единицы, По схеме (2) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее. Имеем систему:

ó Ответ:

Пример 5. Решить неравенство log₈(x²-4x+3)<1. Решение. В левой части log₈t, а в правой 1. Приведем к виду log_af(x) < log_ag(x). Представим 1 в виде логарифма с тем же основанием, что логарифм в правой части, т.е. 1 = log₈8, тогда неравенство примет вид: log₈(x² – 4x + 3) < log₈8. Основание логарифмов равны и больше единицы, По схеме (1) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Так как мы защищаем меньшее, то получим систему:

Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим

Более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим методами, аналогичными используемым при решении логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить неравенство:

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Нам известно, что число . Поэтому в равносильном неравенстве знак исходного неравенства сохраняется.

Пример 2. Решить неравенство:

Решение: ОДЗ: х > 0. Видим два логарифма, но с разными основаниями. Приведем второй член к основанию 5. Получили неравенство:

Очевидна замена:

Вернемся к исходным переменным:

-1 ≤ log ₅ x ≤ 3 . -1* -log₅5 ≤ log ₅ x ≤ 3* log₅5

log₅5^-1 ≤ log ₅ x ≤ log₅5³

Решение. Преобразуем к простейшему логарифмическому неравенству. Видим два логарифма, основания разные; и в левой и в правой части есть числа. Перейдем к основанию 2 в выражении, стоящем в правой части данного неравенства, а числа запишем в виде логарифма: Основания одинаковые и больше 1.Функция log₂t – возрастающая, поэтому первый аргумент больше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее. Теперь перейдем к равносильной системе:

Если в неравенстве встречается логарифмическая функция, содержащая неизвестное в основании, то, как правило, следует рассматривать два случая: 1) когда основание больше 1, 2) когда основание положительно, но меньше 1.

Пример 4. Решить неравенство log _x_–3(x²-4x+3)<0.

Решение. Преобразуем правую часть в логарифм с требуемым основанием: = Имеем неравенство:

log _x–3(x² – 4x + 3) < log _x–31. (простейшее неравенство) Так как основание логарифма содержит переменную, то рассмотрим два случая x-3>1 и 0<x-3<1. Если основание логарифма больше 1, то функция – возрастающая, поэтому первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее. Теперь перейдем к равносильной системе:

Совмещаем промежутки и видим, что данная система не имеет решений.

Рассмотрим второй случай, если 0 < x-3 < 1. Функция log₍_x_-3)t – убывающая, поэтому, знак неравенства меняется. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из аргументов. В этом случае получаем систему:

Пример 5. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: х >0. Так как выражения, стоящие в левой и правой частях неравенства положительны, то для решения прологарифмируем обе части по основанию 10. Получим равносильное исходному неравенство:

, пользуясь свойствами логарифмов lgx * lgx > 1

. Обозначим t = lg x и решим неравенство:.

Учитывая ОДЗ х > 0 Ответ: (0; 0,1)È(10;+¥).

Пример 6. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: х > -2. Если привести к простейшему виду log_af(x) > log_ag(x) не получим облегченного неравенства. Попробуем записать в виде:

log₂(x + 2) > -x + 1. Это логарифмическо-линейное неравенство. Можно попробовать графический метод. Лучше использовать монотонность функции. В левой части монотонно возрастающая функция: f(x) = log₂(x + 2), а в правой – монотонно убывающая: g(x) = -x + 1. Значит уравнение log₂(x + 2) = -x + 1 имеет не более одного корня. Подбором находим что х = 0 есть корень этого уравнения. Проверим f(2)=2, a g(2)= -1. Значит правее х = 1 функция f(x) = log₂(x + 2) больше чем g(x) = -x + 1. Ответ: х > 1.

Пример 7. Решите неравенство

Решение. ОДЗ: ó

Очень часто бывает довольно несложное неравенство обычными преобразованиями трудно решить. Вот в таких случаях нам помогает универсальный метод - метод интервалов.

Нам надо избавиться от переменного основания, так как знак логарифмического выражения зависит как от аргумента, так и от основания. Пусть перейдем к основанию 2. Тогда имеем . Оно равносильно неравенству

Рассмотрим функцию y = (3x + 7)

Находим нули функции:

3x + 7 = 0 или

или

(x + 2)² = 0

x = -2 (кратность равна 2)

Второе неравенство дает ó ó

2x + 5 1 ó x .

Видим х = -2 имеет кратность 3. Нули функции отметим на координатной прямой. Учитывая кратность нулей методом «тыка» находим знак функции.

Ответ:

У метода интервалов есть свои минусы. Потому что не всегда удобно определять знаки на промежутках, тем более когда они малы, когда на них нет целых значений.

Пример 8. Решите неравенство