Электромагнитные колебания и волны

Семинар №18

Цель семинара: изучить электромагнитные колебания и волны, их основные характеристики, условия возникновения.

1. Основные понятия и определения:

Электромагнитны колебания – это периодические изменения во времени электрического заряда, силы тока, напряжения, энергии электрического и магнитного полей. Простейшей системой, в которой возникают электромагнитные колебания, является колебательный контур, который состоит из конденсатора емкостью C и катушки с индуктивностью L (рис. 1).

Если заряженный конденсатор подключить к катушке, то в цепи колебательного контура начнет протекать ток. Через некоторое время заряд конденсатора станет равным нулю, ток через катушку достигнет максимального значения и начнется процесс зарядки конденсатора, и т.д., возникнут свободные электромагнитные колебания. Если пренебречь сопротивлением катушки и соединительных проводов, то такие колебания будут совершаться бесконечно долго, их называют незатухающими. В действительности, любые свободные колебания со временем прекратятся, будут затухающими, механические – благодаря силе трения, электромагнитные – за счет нагревания проводов при протекании электрического тока.

Характеристики электромагнитных колебаний аналогичны характеристикам механических колебаний. Амплитуда  колебаний A – наибольшее значение колеблющейся физической величины. В электромагнитных колебаниях периодически изменяются заряд и напряжение конденсатора, сила тока в катушке. В этом случае говорят об амплитудах заряда  [Кл], напряжения  [В] и силы тока  [А]. Также можно рассматривать колебания энергии электрического  и магнитного  полей.

Период Т, частота v, циклическая частота ω электромагнитных колебаний эквивалентны соответствующим характеристикам механических колебаний. Они также связаны соотношениями: , где N – число полных колебаний за время t, , .

Свободные незатухающие электромагнитные колебания в колебательном контуре являются гармоническими, то есть, изменения во времени физических величин, характеризующих эти колебания, происходят по закону синуса или косинуса.

Заряд конденсатора в колебательном контуре изменяется по закону , где q ₀ – амплитуда заряда. Взяв первую производную от заряда, получаем уравнение для колебаний силы тока в катушке: , где  – амплитуда силы тока. Если взять вторую производную от заряда, , то можно получить дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний: . Функция  является его решением.

Напряжение на конденсаторе определяется формулой , где – амплитуда напряжения. Из дифференциального уравнения следует, что . Таким образом период колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона: .

Превращение энергии в электромагнитных колебаниях. При свободных незатухающих электромагнитных колебаниях система получает энергию только в начальный момент времени (например, при зарядке конденсатора), а далее энергия, а с ней и амплитуда колебаний не меняются. В каждый момент времени сумма энергий электрического и магнитного полей в колебательном контуре не меняется, т.е. полная энергия колебательного контура остается постоянной: .

Энергия электрического и магнитного полей при колебаниях в контуре переходят друг в друга за четверть периода. Когда заряд на конденсаторе максимален, энергия электрического поля максимальна, а энергия магнитного поля катушки равна нулю. При полной разрядке конденсатора, наоборот, энергия электрического поля равна нулю, а энергия магнитного поля максимальна.

 – энергия электрического поля конденсатора, – энергия магнитного поля катушки и

.

Следует отметить, что энергия электрического и магнитного поля изменяется с удвоенной частотой колебаний относительно уровня равного половине полной энергии колебательной системы (рис. 2 и 3):

                

 и .

Можно провести аналогию между механическими и электромагнитными колебаниями.

Механические колебания	Электромагнитные колебания
Величина отклонения, x	Заряд, q
Скорость, V	Сила тока, I
Коэффициент возвращающей силы, k	Величина, обратная емкости конденсатора,
Масса, m	Индуктивность катушки, L
Потенциальная энергия,	Энергия электрического поля,
Кинетическая энергия,	Энергия магнитного поля,

Электромагнитные волны – это распространяющиеся в пространстве электромагнитные колебания. Вокруг колеблющегося, движущегося с ускорением, заряда возникает переменное электрическое поле, которое порождает переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, порождает вихревое электрическое поле и т. д. Так порождается и распространяется в пространстве электромагнитная волна.

Электромагнитная волна является поперечной, вектор напряженности электрического поля E и вектор индукции магнитного поля B в электромагнитной волне перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны (рис. 4).

Расстояние, которое волна проходит за период, называют длиной волны: . Скорость распространения электромагнитной волны в вакууме равна скорости света м/с. В среде скорость распространения электромагнитной волны уменьшается в n раз, где n – абсолютный показатель преломления среды: . Показатель преломления воздуха близок к единице , поэтому можно считать, что скорость электромагнитной волны в воздухе близка к скорости света в вакууме.

2. Базовые задачи:

1. В колебательном контуре напряжения на обкладках конденсатора меняется по закону  [В]. Емкость конденсатора равна = 26 нФ. Определите период и частоту электромагнитных колебаний, индуктивность колебательного контура, зависимость тока i (t) и заряда q (t) от времени, максимальную энергию электрического и магнитного поля. Определите силу тока в катушке в момент времени, когда заряд конденсатора уменьшился в 2 раза от амплитудного значения.

Решение

Из зависимости напряжения от времени  видно, что циклическая частота колебаний равна . Следовательно, период колебаний равен c, а частота – =10³ Гц.

Индуктивность контура найдем из формулы Томсона:

     Гн.

Зависимость заряда и тока от времени найдем из соотношений:

. Подставляя числовые значения, получим:

 [А],             [Кл].

Максимальная энергия как электрического поля, так и магнитного равны между собой:

Дж.

Для определения тока в катушке запишем закон сохранения энергии в колебательном контуре . Отсюда получаем: . В итоге 1,4 А.

2. Индуктивность и емкость колебательного контура равны L и C соответственно. Через какое время после начала зарядки конденсатора его энергия в N раз превышает энергию катушки индуктивности?

Решение

Запишем закон изменения напряжения и силы тока в контуре: , . Выражения для энергии электрического и магнитного поля имеют вид:  и . По условию задачи , то есть .

Отсюда получим: . Из закона сохранения энергии в контуре следует, что

, и . Следовательно, . Циклическая частота колебаний в контуре равна . В итоге получим, что .

3. Колебательный контур радиоприемника настроен на частоту = 6 МГц. Во сколько раз нужно изменить емкость конденсатора контура, чтобы он был настроен на длину волны = 25 м?

Решение

Колебательный контур настроен на частоту ν ₀ или на длину волны , где с – скорость света. Частота его собственных колебаний равна , отсюда емкость конденсатора равна . Отсюда видно, что емкость конденсатора пропорциональна квадрату длины волны . Первоначально приемник настроен на длину волны = 50 м. Следовательно, для того, чтобы настроить приемник на частоту = 25 м =  (меньше в 2 раза), емкость конденсатора колебательного контура необходимо уменьшить  = 4 раза.