Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики

Выполнить практическую работу: Разобрать решенные задачи и по аналогии решить предложенные задачи, отчет о выполнении отправить мне на почту

Практическая работа № 39

Решение задач вероятностными методами.

Цели:

Сформировать навыки вычисления задач вероятностными методами;

Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Классическая вероятность

В классической схеме вероятность любого события определяется как отношение числа m благоприятных для события A элементарных исходов к общему числу элементарных исходов n.

Пример 1:

Некто, перетасовывая колоду из 36 карт, извлекает оттуда случайным образом одну карту. Какова вероятность того, что это будет туз?

Решение:
Тузов всего 4. Это количество благоприятных исходов. Всего карт 36 - это количество всех исходов испытания. Искомая вероятность равна 4/36 = 1/9

Пример 2:

В конверте среди 25 карточек находится разыскиваемая карточка. Из конверта наудачу извлечено 6 карточек. Какова вероятность, что среди них окажется нужная карточка?

Решение:
Извлечь 6 карточек из 25 можно C⁶₂₅ способами. Это количество всех исходов. Подсчитаем количество благоприятных исходов. Если нужная карточка уже есть в наборе, то остальные пять карточек из 24 можно выбрать C⁵₂₄ способами.

1.1 Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

1.2 На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?

1.3 Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой?

1.4 Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?

 

Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики

Пример 1: В партии из N = 10 деталей имеется L = 7 стандартных.

Наудачу отобраны k = 6 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно r = 4 стандартных.

Решение: Число n всех возможных элементарных исходов выбора равно числу способов, которыми можно извлечь k деталей из N деталей, т.е. n = – числу сочетаний из N элементов по k.

n = = = = 210

Подсчитаем число исходов, составляющих интересующее нас событие А – (среди k деталей ровно r стандартных). Из k стандартных деталей взять r стандартных деталей можно способами, при этом остальные k – r деталей должны быть нестандартными; взять их из N – L нестандартных деталей можно способами. Число m всех благоприятствующих А исходов равно произведению m = · .

m = · = · = · = 105.

Вероятность события А равна отношению m – числа исходов, благоприятствующих событию А, к n – числу всех возможных элементарных исходов

Р (А) = = = 0,5.

 

2.1 Из 100 изготовленных пальто оказалось 7 третьего сорта, а остальные пальто первого и второго сорта. Какова вероятность, что пять отобранных пальто будут первого или второго сорта.

2.2 Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Каждый билет содержит два вопроса программы. Найти вероятность того, что студент знает оба вопроса билета.

2.3 Из урны, в которой 30 шаров белых и 4 красных, наудачу вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них есть хотя бы один красный шар.

2.4 В партии из 10 приборов 8 не имеют дефекта. Найти вероятность того, что из двух наудачу взятых приборов хотя бы один без дефекта.

2.5 Из полного набора костей домино наугад берут 3 кости. Какова вероятность того, что хотя бы две из них дубли?

2.6 Открываются одна за другой карты колоды из 36 штук. Какова вероятность того, что первой картой пиковой масти окажется пятая карта?

2.7 В урне 6белых и 5 красных шаров. Наугад последовательно без возврата вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара красные.

2.8 Среди 17 студентов группы, из которых восемь девушек, разыгрывается семь билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся четыре девушки?

2.9 Партия из 100 изделий содержит 40 изделий 1–го сорта, а остальные второго сорта. Наудачу берут 4 изделия, найти вероятность того, что все они будут одного сорта.

2.10 Найти вероятность того, что в 4-х значном номере наудачу взятой машины: а) все цифры различны, б) все цифры одинаковы.