Основные свойства неопределенного интеграла

Г.

Лекция № 5

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Например, является первообразной для функции , так как .

Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что все функции , где — некоторое число, являются первообразными для функции .

Аналогично в общем случае, если — некоторая первообразная для , то, поскольку , функции вида , где - произвольное число, также являются первообразными для .

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где — знак интеграла, — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение. Таким образом,

где — некоторая первообразная для , — произвольная постоянная.

Например, - первообразная для функции , то .

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е,

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

где — произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где — произвольное число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

Пример 1: Найти .

Решение.

= .

Пример 2: Найти неопределенный интеграл .

Используя пятое свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянную 2. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду: