Задания для практической работы

МАТЕМАТИКА

Группа 84

Автомеханик

Марта 2020 г.

Практическое занятие

 

Тема:   «Общие методы решения уравнений»

Цели:

- систематизировать, обобщить знания и умения по применению различных методов решения уравнений;

- развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.

 

Продолжительность занятия  - 2 часа

 

Оборудование:  карточки с заданиями, чертежные инструменты, ручка, тетрадь

Краткие теоретические сведения:

Краткое обсуждение  тех теоретических знаний, которыми они обладают и пользуются при решении уравнений.

Методические рекомендации:

Основные методы решения уравнений

Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их не существует. Стандартных методов решения уравнений много, нестандартных - еще больше. Последние подходят для решения небольшого количества (часто вообще одного) типа уравнений. При решении уравнений почти всегда приходится прибегать к тождественным преобразованиях алгебраических выражений. Поэтому целесообразно разобраться сперва с этим материалом, прежде чем переходить к решению уравнений. В данной статье разобраны в основном стандартные методы решения уравнений. Некоторые нестандартные методы кратко охарактеризованы в завершающей части статьи.

 

Метод разложения на множители

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль. Проще всего уяснить эту идею на конкретном примере.

Пример 1. Решите уравнение методом разложения на множители:

Решение. Осуществим разложение на множители (представим исходное выражение в виде произведения). Для этого вынесем переменную за скобки:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, или Из последнего уравнения получаем: или

Ответ: и

 

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной. Все эти идеи проще осознать на конкретном примере.

Пример 2. Решите уравнение методом замены переменной:

Решение. Такие уравнения называются биквадратными. Перепишем его в виде: Введем новую переменную Тогда исходное уравнение примет следующий простой вид: Решая полученное квадратичное уравнение, получаем, что или

Возвращаемся теперь к старой переменной (обратная замена): или Решений у первого уравнения нет, поскольку не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицателен. Второе уравнение имеет два корня

Ответ:

 

Метод оценки области значений

Суть данного метода в сравнении областей значений выражений, входящих в уравнение. Часто такой анализ позволяет легко решать сложные уравнения, содержащие различные выражения (рациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные и др.). Разберем это на конкретном примере.

Пример 5. Решите уравнение, используя метода оценки области значений:

Решение. Рассмотрим функцию Известно, что поэтому Итак, функция может принимать значения только из промежутка

Рассмотрим теперь функцию Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке

График соответствующей квадратичной функции

То есть область значений данной функции (те значения, которые может принимать переменная ) представляет собой промежуток

Таким образом выражения, стоящее справа и слева от знака равенства в исходном уравнении, могут оказаться равными, только если их значения окажутся равными 1, причем при одном и том же значении Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это условие выполняется при Действительно, и При всех остальных значениях функция больше 1 (см. график). Значит — единственный корень уравнения.

Ответ: 0.

 

Задания для практической работы

Вариант 1   

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

Вариант 2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Домашнее задание:

Оформить отчет по практической работе

Список литературы:

Алгебра и начала математического анализа, автор Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, учебник для общеобразовательных организаций, базовый и углубленный уровни, 5 издание, Москва «Просвещение», 2019г.

 

Преподаватель - Брыкало А.А., brukalo_aa@mail.ru