Тема 7. Анализ рядов динамики

Задача 7.1.   Имеются данные, характеризующие общий объём продукции промышленности в одном из регионов (в фактически действовавших ценах), млрд. руб.:

 

Уровни продукции промышленности	Годы
В старых границах региона
В новых границах региона

Сомкнуть ряд, выразив площадь под картофелем в условиях изменения границ района.

Решение. Для приведения этой информации к сопоставимому виду определяется коэффициент пересчета (коэффициент соотношения двух уровней), для чего берут значения уровней в точке их пересечения:

Умножая на полученный коэффициент уровни продукции первого ряда (верхней строки)  до точки пересечения с нижним рядом (нижней строки)  и объединив их с уровнями в новых границах строим ряд динамики сопоставимых уровней в новых территориальных условиях региона (в точке пересечения берём значение уровня нижнего ряда!):

Годы
Уровни продукции промышленности

 

Задача 7.2. Определить все возможные показатели динамики, включая средние. Построить график динамики численности работающих в отрасли.

Год	Численность работающих в отрасли, тыс. чел.

Решение. Находим показатели динамического ряда, для большей наглядности сведя основную их часть в таблицу.

Средний уровень ряда:

Средний абсолютный прирост:

Средний темп роста:                                 

или

Средний темп прироста:

Год	Численность работающих, тыс. чел.	Абсолютный прирост		Темп роста		Темп прироста		Темп наращивания	Абсолютное значение 1% прироста
		базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной		базисный	цепной
		-	-	-	-	-	-	-	-	-

 

Построим график динамики численности работающих в отрасли.

Годы

 

 

Задача. 7.3. Имеются следующие данные о месячном объеме производства продукции N-ского завода за 20ХХ год.

Месяц	Объем производства, млн.руб.
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
Итого:

 

Для изучения тенденции изменения показателей произвести сглаживание ряда динамики тремя способами: методом укрупнения интервалов, методом скользящей средней, методом аналитического выравнивания. Изобразить графически фактические и сглаженные уровни ряда. С вероятность Р = ________ сделать прогноз на следующий год.

 

Решение.

 

1) Сгладим исходные данные методом укрупнения интервалов. В качестве нового интервала возьмет квартал (3 месяца). Показатели сглаженного ряда динамики находим усреднением значений по трем месяцам, входящим в квартал. Получим следующий ряд динамики (таблица 1).

 

Таблица 1

 

Квартал	Объем производства, млн.руб.
1
2
3
4
Итого:

 

 

2) Сгладим данные методом скользящей средней (по трём месяцам). Для этого сначала вычислим средний уровень из трёх первых по порядку уровней ряда, затем средний из трёх уровней, начиная со второго, затем – с 3-го и т.д. Результаты расчета по трехмесячной скользящей средней сведём в таблицу.

Таблица 2

Месяц	Фактические уровни ряда,	Сглаженные уровни ряда,
1		-
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Итого:

3) Сгладим исходные данные методом аналитического выравнивания по линейному тренду  (уравнение линейной регрессии), где коэффициенты  и можно найти методом наименьших квадратов, решив систему линейных уравнений:

   

или после сокращения на п:

где у – фактические (эмпирические) уровни ряда; t – время или порядковый номер периода или момента времени.

 

       Составим вспомогательную таблицу, куда сведём все промежуточные вычисления.

Таблица 3 

Месяц	Объем производства, млн.руб.	Условное обознач. месяца			Выровненный ряд
Январь		1
Февраль		2
Март		3
Апрель		4
Май		5
Июнь		6
Июль		7
Август		8
Сентябрь		9
Октябрь		10
Ноябрь		11
Декабрь		12
	=	=	=	=	Проверка!

 

Тогда исходная система примет вид:

 

Решим её методом Крамера:

 

 

 

Откуда                                                          

 

Уравнение линии тренда имеет вид: .

Рассчитаем линию тренда по месяцам и занесём данные в таблицу 3.

 

4) Используя данные таблиц 1, 2, 3 изобразим графически фактические и сглаженные уровни ряда (разными цветами для каждого метода выравнивания).

 

     5) При составлении прогноза уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая доверительные интервалы прогноза. При этом границы интервалов определяются по формуле:

,                   (4)

где   – точечный прогноз, рассчитанный по отобранной модели;  – коэффициент до-

верия Стьюдента при уровне значимости ;  – среднее квадратическое отклонение

тренда, которое рассчитывается, как:

,

где n число – уровней ряда; m – число определяемых параметров трендовой модели (в нашем случае это  и ).

Составим вспомогательную расчётную таблицу для вычисления среднего квадратического отклонения.

Месяц	Объем производства, млн.руб.
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь

 

Следовательно:      

       Для того чтобы получить точечный прогноз показателя, в уравнение линейной регрессии  подставим значение : ____________

       По числу степеней свободы  ________ и заданной доверительной вероятности  ________ найдем коэффициент доверия к прогнозу: _______. Используя формулу (4) запишем границы прогнозируемого показателя:

                                    

Окончательно получаем:

_________ ____________

 

Таким образом, с вероятностью Р = _______ можно ожидать, что объём производства продукции на начало следующего года будет не ниже _________ млн. руб., но и не выше ______ млн. руб.

Приложение 1

Критические точки распределения Стьюдента.

 

В таблице приведены значения  в зависимости от числа степеней свободы и доверительной вероятности P   (уровня значимости a = 1 – P).

 

k	Доверительная вероятность (надёжность)   P
	0.80	0.90	0.95	0.98	0.99	0.995	0.998	0.999
1	3.0770	6.3130	12.7060	31.820	63.656	127.656	318.306	636.619
2	1.8850	2.9200	4.3020	6.964	9.924	14.089	22.327	31.599
3	1.6377	2.35340	3.182	4.540	5.840	7.458	10.214	12.924
4	1.5332	2.13180	2.776	3.746	4.604	5.597	7.173	8.610
5	1.4759	2.01500	2.570	3.649	4.0321	4.773	5.893	6.863
6	1.4390	1.943	2.4460	3.1420	3.7070	4.316	5.2070	5.958
7	1.4149	1.8946	2.3646	2.998	3.4995	4.2293	4.785	5.4079
8	1.3968	1.8596	2.3060	2.8965	3.3554	3.832	4.5008	5.0413
9	1.3830	1.8331	2.2622	2.8214	3.2498	3.6897	4.2968	4.780
10	1.3720	1.8125	2.2281	2.7638	3.1693	3.5814	4.1437	4.5869
11	1.363	1.795	2.201	2.718	3.105	3.496	4.024	4.437
12	1.3562	1.7823	2.1788	2.6810	3.0845	3.4284	3.929	4.178
13	1.3502	1.7709	2.1604	2.6503	3.1123	3.3725	3.852	4.220
14	1.3450	1.7613	2.1448	2.6245	2.976	3.3257	3.787	4.140
15	1.3406	1.7530	2.1314	2.6025	2.9467	3.2860	3.732	4.072
16	1.3360	1.7450	2.1190	2.5830	2.9200	3.2520	3.6860	4.0150
17	1.3334	1.7396	2.1098	2.5668	2.8982	3.2224	3.6458	3.965
18	1.3304	1.7341	2.1009	2.5514	2.8784	3.1966	3.6105	3.9216
19	1.3277	1.7291	2.0930	2.5395	2.8609	3.1737	3.5794	3.8834
20	1.3253	1.7247	2.08600	2.5280	2.8453	3.1534	3.5518	3.8495
21	1.3230	1.7200	2.0790	2.5170	2.8310	3.1350	3.5270	3.8190
22	1.3212	1.7117	2.0739	2.5083	2.8188	3.1188	3.5050	3.7921
23	1.3195	1.7139	2.0687	2.4999	2.8073	3.1040	3.4850	3.7676
24	1.3178	1.7109	2.0639	2.4922	2.7969	3.0905	3.4668	3.7454
25	1.3163	1.7081	2.0595	2.4851	2.7874	3.0782	3.4502	3.7251
26	1.315	1.705	2.059	2.478	2.778	3.0660	3.4360	3.7060
27	1.3137	1.7033	2.0518	2.4727	2.7707	3.0565	3.4210	3.6896
28	1.3125	1.7011	2.0484	2.4671	2.7633	3.0469	3.4082	3.6739
29	1.3114	1.6991	2.0452	2.4620	2.7564	3.0360	3.3962	3.8494
30	1.3104	1.6973	2.0423	2.4573	2.7500	3.0298	3.3852	3.6460
32	1.3080	1.6930	2.0360	2.4480	2.7380	3.0140	3.3650	3.6210
34	1.3070	1.6909	2.0322	2.4411	2.7284	3.9520	3.3479	3.6007
36	1.3050	1.6883	2.0281	2.4345	2.7195	9.490	3.3326	3.5821
38	1.3042	1.6860	2.0244	2.4286	2.7116	3.9808	3.3190	3.5657
40	1.303	1.6839	2.0211	2.4233	2.7045	3.9712	3.3069	3.5510
42	1.320	1.682	2.018	2.418	2.6980	2.6930	3.2960	3.5370
44	1.301	1.6802	2.0154	2.4141	2.6923	3.9555	3.2861	3.5258
46	1.300	1.6767	2.0129	2.4102	2.6870	3.9488	3.2771	3.5150
48	1.299	1.6772	2.0106	2.4056	2.6822	3.9426	3.2689	3.5051
50	1.298	1.6759	2.0086	2.4033	2.6778	3.9370	3.2614	3.4060