Задание по алгебре для обучающихся 205 группы по теме «Наибольшее и наименьшее значения функций» 2 апреля 2020 г

1. Посмотри видео урок по теме «Наибольшее и наименьшее значения функций» по ссылке infourok.ru или videouroki.net

2.Изучи теоретический материал по теме С незапамятных времен перед человеком возникают практические проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего, или как говорят, нахождения оптимального решения. Перед нами всегда стоит проблема выбора. Иногда этот выбор сделать просто, но очень часто обилие вариантов ставит нас в тупик, и мы не знаем, как поступить. Зато научные принципы выбора оптимального решения дают однозначный ответ.

Выдающиеся ученые: француз Пьер Ферма (1601-1665), англичанин Исаак Ньютон (1643-1727), немец Готфрид Лейбниц(1646-1716), француз Жозеф Лагранж (1736-1813) сформировали новый аппарат исследований интегрального и дифференциального исчисления, с помощью которого и решаются задачи на нахождение наибольшего и наименьшего или – экстремальные задачи.

Задача - легенда, описывает события, относящиеся к IX в. до н. э.

Математически перед Дидоной встала экстремальная задача, которую можно сформулировать следующим образом:

Какая фигура максимальной площади охватывается замкнутой плоской кривой заданной длины?

Еще в Древней Греции знали, что ответом на задачу Дидоны служит круг: среди замкнутых плоских кривых заданной длины именно окружность охватывает фигуру наибольшей площади.

 

3.Выучи алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции:

1. Найти производную функции f '(x)

2.Найти критические (стационарные) точки.f '(x) = 0

3. Отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [а; в].

4.Найти значения функции в этих точках и на концах отрезка.

5.Выбрать наибольшее и наименьшее из них и записать ответ.

4. Ознакомьтесь с решением типовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функций:

№1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x³ – 9x² + 12x – 2 на отрезке [0; 3]

Решение. Действуем в соответствии с алгоритмом.

1) D(f) = (-∞; +∞).

2) f (x) = 6x² – 18x + 12

3) Стационарные точки: х = 1; х = 2,

4) f(0) = -2; f(3) = 7; f(1) = 3; f(2) = 2

5) f_наим.=f(0) = -2; f_наиб.=f(3) = 7.

Ответ: f_наим= -2, f_наиб.= 7.

№2. Найдите два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее.

Решение. Пусть первое число равно х, ,тогда второе число -

Следовательно, . Произведение этих чисел равно х(16 – х).

Составим функцию: f(x) = x(16 – x),

x = 8 – единственная стационарная точка на интервале (0; 16), она является точкой максимума.

Следовательно, в этой точке функция F(x) = x(16 – x) принимает наибольшее значение.

Следовательно, два положительных числа, сумма которых равна 16, а произведение наибольшее, это 8 и 8.

Ответ: 8 и 8

 Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники. Их объединяет – способ решения. Нужно перейти от реальных ситуаций к их математическим моделям.

 

Для решения задачи с практическим содержанием необходимо перевести ее на язык математики: составить функцию, определить промежуток, на котором ее надо исследовать.

№ 3 Периметр прямоугольника равен 40 км. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

Решение: Р=40 км; значит,

Р/2= a+b=20. Пусть: а=х,

S =a·b, b=20-х.

Вспоминаем вместе с учащимися алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции с помощью плаката.

1. Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё стороны прямоугольника.

х – длина прямоугольника, (20-х) – ширина прямоугольника. Тогда.

2. Записываем функцию S(x) =x·(20-x) =20x – x².

3. Находим производную S^' (x) = 20-2x.

4. Решаем уравнение 20-2х=0. х=10.

Значит, длина и ширина равны 10 см.

Какая это фигура получается? (Квадрат).

S (10) = 10 (20-10) =10·10 =100 см².

Ответ: 10 см.

 

4. Изучить самостоятельно п.52 «Наибольшее и наименьшее значения функций» с.277, 5.оставить краткий конспект.

6. Решить задачи № 937 – 1,2.