Представление объектов в пространстве вход-состояние-выход

Для того, чтобы было легче исследовать модель объекта, желательно привести ее к некоторому стандартному виду, для которого уже есть готовые общие решения. Таким «стандартом» в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка, которая называется нормальной формой Коши.

Рассмотрим снова модель электродвигателя, считая, что М_H(t) = 0 (нагрузки нет). Вспомнив. что ω(t) = φ ’ (t), можно записать равенство (2) см. прошлую лекцию, в виде системы:

 

Эта система дифференциальных уравнений первого порядка быть записана в матричной форме:

(3.1)

Значения φ (t) и ω(t) определяют состояние двигателя в момент времени t. Это значит, что зная их значения в некоторый момент времени t₀ и входной сигнал u(t) при всех t > t ₀ можно рассчитать поведение объекта для любого последующего момента. При этом предыдущие значения φ (t), ω(t) и u(t) (при t< t₀) не играют никакой роли. Поэтому φ (t) и ω(t) называются переменными состояния, а вектор - вектором состояния.

В теории управления принято обозначать вектор состояния через x(t), вход объекта (сигнал управления) - через u(t). Тогда уравнение в матричной форме (3.1) может быть записана в виде:

(3.2)

 

где , , . Уравнение (4) связывает вход u (t) и вектор состояния x (t), поэтому оно называется моделью вход-состояние.

(3.3)

Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение - уравнение выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y(t):

 

 

Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Выходная координата для двигателя постоянного тока - это угол поворота вала:

так что  и D =0. Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то .

С помощью модели (3.3), изменяя матрицы С и D, можно принять за выход любую линейную комбинацию переменных состояния и входа. Во многих практических задачах выход - это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить.

Поскольку момент инерции J, сопротивление якоря R и коэффициенты k ₁, и k ₁ не зависят от времени, матрицы А, В, С и D в модели (3.3) - постоянные. Такие объекты называются стационарными, в отличие от нестационарных объектов, параметры которых изменяются во времени.

Запись моделей в единой форме (3.3) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах.