Теоретический материал для самостоятельного изучения

Бесконечные периодические десятичные дроби.

Периодическая десятичная дробь — это любая десятичная дробь, у которой:

1. Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;

Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.

Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе — периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.

Примеры:

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

Переход к периодической десятичной дроби

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».

При этом будет происходить следующее:

1. Сначала разделится целая часть, если она есть;

2. Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;

3. Через некоторое время цифры начнут повторяться.

Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:

Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733... = 1,7(3).

В итоге получается дробь: 0,5833... = 0,58(3).

Записываем в нормальном виде: 4,0909... = 4,(09).

 

 

Непериодические бесконечные десятичные дроби.

 

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим положительную бесконечную десятичную дробь 0,1011011101111…

У этой дроби нет группы цифр, являющейся периодом. Эта дробь непериодическая.

Примеры бесконечных непериодических дробей

0,010010001…

17,1234567891011…

Поставив перед положительной дробью знак «–», получим отрицательную дробь.

Например, дробь

– 0,1001000100001…

является отрицательной бесконечной непериодической дробью.

Обнаружены новые числа, которые раньше не встречались. Эти новые для вас числа называют иррациональными.

Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом.

Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.

Любое действительное число представляется в виде бесконечной десятичной дроби.

Если число – рациональное, то дробь – периодическая, а если иррациональное, то дробь – непериодическая.

Немного истории

Считается, что иррациональные числа были открыты в Древней Греции приблизительно за 400 лет до нашей эры. Самое знаменитое иррациональное число пи обозначается греческой буквой – π и приближенно равно 3,141592653589793238462643...

Каждый год 14 марта в 1:59:26 люди, интересующиеся математикой, празднуют «День числа пи». В этот день даже проводятся соревнования по запоминанию десятичных знаков этого числа.

Что мы знаем о числах?

Рассмотрим, как выполняются действия с действительными числами. На практике бесконечные десятичные дроби складывают, вычитают, умножают и делят приближенно.

Пример 1. Сравните: 0,(23) и 0,1234…

Чтобы сравнить дроби надо уравнять количество десятичных знаков и затем сравнить.

0,2323 > 0,1234

Пример 2. Найдем приближенную сумму и разность чисел а и b, округлив их с точностью до одной десятой, если а = 23,(18), b = – 4,23(75).

Решение: округляя эти числа с точностью до одной десятой, находим, что а ≈ 23,2 и b = – 4,2. Тогда а + b ≈ 19,0; а – b ≈ 27,4.