2020-05-11
120Дисциплина: «Математика для экономистов»
Специальность: « Учет и аудит» У-1А
Подготовила Курманова А.Б.
Практическая часть 06.04.20 г.
Цель: Овладеть умениями и навыками исследования функций на непрерывность, рассмотрим примеры на нахождение непрерывности функций в точке
Тема: 2. Непрерывность функции в точке и на интервале
Пример 1
Исследовать функцию 
на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение:
1) Под прицел попадает единственная точка 
, в которой функция не определена.
2) Вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и равны.
Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.
Как выглядит график данной функции?
Хочется провести упрощение 
, и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке 
, поэтому обязательна следующая оговорка:
Выполним чертёж:
Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.
Пример 2
Исследовать функцию 
на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение: Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: 
, где «альфа» – некоторое выражение. В данном случае 
, и наша функция должна расписаться кусочным образом:
Но дроби обоих кусков предстоит сократить на 
. Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке 
, так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие 
, и первое неравенство 
сделать строгим:
Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы 
(синий цвет), а справа – кусок параболы 
(красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :
Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию 
(не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.
Исследуем функцию на непрерывность аналитически:
1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.
2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Ещё раз заметьте, что при нахождении пределов не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет. Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно – из правого предела нужно вычесть левый предел: 
, то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»). Пример 4
Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции 
.
Решение: очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства 
значение принадлежит прямой 
(зелёная точка), и в силу неравенство 
значение принадлежит параболе 
(красная точка):
Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:
I) Исследуем на непрерывность точку 
1) 
– функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция 
терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .
Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) 
– функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
– односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.
3) 
– предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция 
непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:
Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
