2020-05-21
319Тема Решение задач по теме «Призма»
Уважаемые студенты! На предыдущем занятии вы познакомились с призмой, рассмотрели виды призм и ее свойства. Сегодня мы разберем задачи по теме «Призма».
Прежде чем перейти к решению задач давайте вспомним:
1. Прямая призма - это такая призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
Рис. 1
| Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 1). Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (АВС). Значит, призма – прямая. Значит, все боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания и каждая боковая грань – это прямоугольник. |
2. Правильной называется такая прямая призма, в основании которой лежит правильный n-угольник. Тогда, мы имеем правильную n-угольную призму.
Рис. 2
3. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
Sполн = Sбок + 2Sосн
4. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Sбок = Росн ∙ h
|
|
|
Рассмотрим следующие задачи
Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21см и 9 см и высотой 8 см (рис. 3). Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см.
| Дано: AD ∥ BC, AB = CD, AD = 21см, BC = 9см, BH = 8 см, АА1 ⊥ АВС, АА1 = 10 см. (рис. 4) Найти: Sбок |
| Решение: Рассмотрим трапецию ABCD. ВН и CG – высоты трапеции. AD = 21см, BC = 9см. Так как трапеция ABСDм равнобокая, то HG = BC = 9 см, следовательно
Рассмотрим треугольник ∆ АВН и найдем сторону АВ по теореме Пифагора:
Найдем периметр основания.
Применяем формулу для площади боковой поверхности:
Ответ: 500 см2 | |
(см).
2. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите:
а) диагональ призмы;
б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;
в) площадь боковой поверхности призмы.
| Дано: ABCD – квадрат, АВ = а, АА1 ⊥ АВС. Угол (АС1, АВС) = 45°. Найти: а) АС1; б) ∠(АС1, АD1C1); в) Sбок |
Решение:
а) ABCDA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма. Это означает, что в её основании лежит квадрат АВСD.
Сторона квадрата АВСD по условию равна а, тогда диагональ АС = а√2.
Угол между диагональю АС1 и плоскостью основания ABC равен 45°. Угол между диагональю АС1 и плоскостью основания ABC – это угол между прямой АС1 и её проекцией на плоскость ABC, то есть угол С1АС, значит, ∠ С1АС = 45°. Так как треугольник С1АС прямоугольный, то и угол АС1С равен 45°. Значит, треугольник С1АС – равнобедренный. Значит, СС1 = АС = а√2.
Из прямоугольного треугольника АС1С находим по теореме Пифагора АС1.
|
|
|
Ответ: 2а.
б) Прямая С1D1 перпендикулярна всей плоскости АDD1. Угол между прямой АС1 и гранью АDD1 - это угол между прямой АС1 и её проекцией АD1 на плоскость АDD1. Значит, искомый угол - ∠ С1АD1.
Прямая С1D1 перпендикулярна всей плоскости АDD1, а значит, и прямой АD1. Найдем ∠ С1АD1 из прямоугольного треугольника С1АD1.
Значит, ∠ С1АD1 = 30°.
Ответ: 30°.
в) Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Ответ: 
.
Итак, мы повторили теоретический материал и разобрали задачи.
