Таблица значений функции Пуассона

Примеры решения задач к теме 4. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

 

Пример 4.1. После года хранения на складе в среднем 10% аккумуляторов выходит из строя. Определить вероятность того, что после года хранения из 12 аккумуляторов окажутся годными:

а) 10,

б) больше половины.

Решение.

Проводится 12 независимых испытаний, состоящих в проверке годности аккумулятора. Для каждого из 12 аккумуляторов вероятность события А – аккумулятор после года хранения годный – по условию постоянна и равна:

А. Требуется определить вероятность того, что из 12 аккумуляторов ровно 10 будут годными, т. е. вероятность . Поскольку испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, то эту вероятность можно определить по формуле Бернулли (1.24):

Б. Требуется определить вероятность того, что из 12 аккумуляторов более 12/2=6 будут годными, т. е. вероятность . При этом по теореме сложения для несовместных событий (1.13):

,

так как события не совместны.

Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, то вероятности можно определить по формуле Бернулли (1.24):

Пример 4.2. Вероятность своевременного выполнения заказа цехами службы быта равна 0,75. Найти вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят:

а) 120;

б) не менее 110.

Решение.

Проводится 160 независимых испытаний, состоящих в проверке выполнения заказа цехами службы быта. Для каждого из 160 заказов вероятность события А - заказ выполнен - по условию постоянна:

В задаче число испытаний n=160, р=0,75, npq=160*0,75*0,25=30 20.

А. Требуется определить вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят 120, т. е. вероятность

Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, n велико, р отлична от 0 и 1, npq 20, то эту вероятность можно определить в соответствии с локальной теоремой Муавра – Лапласа (1.25):

, где .

Получим , откуда, по табл. 7 плотности вероятности нормированного нормального закона распределения, находим f(0)=0,3989.

В результате искомая вероятность того, что из 160 заказов своевременно будет выполнено ровно 120:

Б. Требуется определить вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят не менее 110, т. е. вероятность .

Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, n велико, р отлична от 0 и 1, npq 20, то эту вероятность можно определить в соответствии с интегральной теоремой Муавра – Лапласа (1.26):

 где

Получим

              

откуда по табл. 1 Приложений значений функции Лапласа нормированного нормального закона распределения, находим:

Ф(-1,83)=-Ф(1,83)=-0,9327, Ф(7,3)=1.

В результате искомая вероятность того, что не менее 110 из 160 заказов будут выполнены своевременно равна:

Пример 4.3. При обработке линз в среднем 3 из 100 имеют брак. Сколько линз следует обработать, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что отклонение доли брака от его вероятности не превысит 0,01 (по абсолютной величине)?

Решение.

Проводятся независимые испытания, состоящие в проверке брака обработки линз. Для каждой линзы вероятность события А – линза обработана с браком – по условию постоянна и равна:

В задаче надежность =0,95, отклонение =0,01.

Требуется определить число линз п, которые необходимо обработать. Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, то количество линз можно определить в соответствии со вторым следствием интегральной теоремы Муавра –Лапласа (1.28):

По табл. 1 Приложений значений функции нормированного нормального закона распределения, находим откуда

Следовательно, нужно обработать n=1118 линз, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение доли появления бракованной линзы от вероятности быть бракованной (равной 0,03) не превысит 0,01 (по абсолютной величине).

Пример 4.4. Вероятность изготовления бракованной отливки равна 0,002. Определить вероятность того, что из выпущенных 500 отливок количество бракованных составит:

а) 2;

б) более двух.

Решение.

Проводится 500 независимых испытаний, состоящих в проверке брака отливки. Для каждой из 500 отливок вероятность события А – отливка бракованная - по условию постоянна и равна:

В задаче число испытаний велико n=500, р=0,002 – мала, параметр Пуассона

А. Требуется определить вероятность того, что из 500 отливок ровно 2 будут бракованными, т. е. вероятность

Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, n>>100, р – мала,  то эту вероятность можно определить по формуле Пуассона (1.31):

(вероятность можно определить и по табл. 8 Приложений значений функции Пуассона для  и m=2).

Б. Требуется определить вероятность того, что из 500 отливок более 2 будут бракованные, т. е. вероятность

При этом по теореме сложения для несовместных событий (1.13):

так как события  несовместны. В данном случае целесообразно перейти к противоположному событию (что будет не больше 2 бракованных отливок, ), и воспользоваться следствием (1.15):

Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, n>>100, р – мала, , то вероятности можно определить по формуле Пуассона (1.31):

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

Значения* функции

х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3980	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3725	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1845	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0044	0033	0024	0017	0012	0009	0006	0004	0003	0002
4,0	0001	0001	0001	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000

 

* Все значения умножены на 10 000.

 

 

Приложение  Б

Значения* функции  

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,00	00000	00798	01596	02393	03191	03988	04784	05581	06376	07171
0,1	07966	08759	09552	10348	11134	11924	12712	13499	14285	15069
0,2	15852	16633	17413	18191	18967	19741	20514	21284	22052	22818
0,3	23582	24344	25103	25860	26614	27366	28115	28862	29605	30346
0,4	31084	31819	32552	33280	34006	34729	35448	36164	36877	37587
0,5	38292	38995	39694	40387	41080	41768	42452	43132	43809	44481
0,6	45149	45814	46474	47131	47783	48431	49075	49714	50350	50981
0,7	51607	52230	52848	53461	54070	54675	55275	55870	56461	57047
0,8	57629	58206	58778	59346	59909	60468	61021	61570	62114	62653
0,9	63188	63718	64243	64763	65278	65789	66294	66795	67291	67783
1,0	68269	68750	69227	69699	70166	70628	71086	71538	71986	72429
1,1	72867	73300	73729	74152	74571	74986	75395	75800	76200	76595
1,2	76986	77372	77754	78130	78502	78870	79233	79592	79945	80295
1,3	80640	80980	81316	81648	81975	82298	82617	82931	83241	85547
1,4	83849	84146	84439	84728	85013	85294	85571	85844	86113	86378
1,5	86639	86696	87149	87398	87644	87886	88124	88358	88589	88817
1,6	89040	89260	89477	89690	89899	90106	90309	90508	90704	90897
1,7	91087	91273	91457	91637	91814	91988	92159	92327	92492	92655
1,8	92814	92970	93124	93275	93423	93569	93711	93852	93989	94124
1,9	94257	94387	94514	94639	94762	94882	95000	95116	95230	95341
2,0	95450	95557	95662	95764	95865	95964	96060	96155	96247	96338
2,1	96427	96514	96599	96683	96765	96844	96923	96999	97074	97148
2,2	97219	97289	97358	97425	97491	97555	97618	97679	97739	87798
2,3	97855	97911	97966	98019	98072	98123	98172	98221	98269	98315
2,4	98360	98405	98448	98490	98531	98571	98611	98649	98686	98723
2,5	98758	98793	98826	98859	98891	98923	98953	98983	99012	99040
2,6	99068	99095	99121	99146	99171	99195	99219	99241	99263	99285
2,7	99307	99327	99347	99367	99386	99404	99422	99439	99456	99473
2,8	99489	99505	99520	99535	99549	99563	99576	99590	99602	99615
2,9	99627	99639	99650	99661	99672	99682	99692	99702	99712	99721
3,0	99730	99739	99747	99755	99763	99771	99779	99786	99793	99800
3,1	99806	99813	99819	99825	99831	99837	99842	99848	99853	99858
3,2	99863	99867	99872	99876	99880	99885	99889	99892	99896	99900
3,3	99903	99907	99910	99913	99916	99919	99922	99925	99928	99930
3,4	99933	99935	99937	99940	99942	99944	99946	99948	99950	99952
3,5	99953	99955	99957	99958	99960	99961	99963	99964	99966	99967
3,6	99968	99969	99971	99972	99973	99974	99975	99976	99977	99978
3,7	99978	99979	99980	99981	99982	99982	99983	99984	99984	99985
3,8	99986	99986	99987	99987	99988	99988	99989	99989	99990	99990
3,9	99990	99991	99991	99992	99992	99992	99992	99993	99993	99993

 

* Все значения умножены на 100 000.

Приложение  В

 

Таблица значений функции Пуассона

 

m	λ	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0		0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488	0,4966	0,4493	0,4066
1		0,0905	0,1638	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293	0,3476	0,3596	0,3696
2		0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988	0,1217	0,1438	0,1647
3		0,0002	0,0011	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198	0,0284	0,0383	0,0494
4		–	–	0,0002	0,0007	0,0016	0,0030	0,0050	0,0077	0,0111
5		–	–	–	0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0012	0,0020
6		–	–	–	–	–	–	0,0001	0,0002	0,0003
m	λ	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0
0		0,3679	0,1353	0,0498	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0001
1		0,3679	0,2707	0,1494	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011
2		0,1839	0,2707	0,2240	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0055
3		0,0313	0,1804	0,2240	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0150
4		0,0153	0,0902	0,1618	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,0337
5		0,0081	0,0361	0,1008	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607
6		0,0005	0,0120	0,0504	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,0911
7		0,0001	0,0034	0,0216	0,0595	0,1044	0,1377	0,1490	0,1396	0,1318
8		–	0,0009	0,0081	0,0298	0,0655	0,1033	0,1304	0,1396	0,1318
9		–	0,0002	0,0027	0,0132	0,0363	0,0688	0,1014	0,1241	0,0318
10		–	–	0,0008	0,0053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1180
11		–	–	0,0002	0,0019	0,0082	0,0225	0,0452	0,0722	0,0970
12		–	–	0,0001	0,0006	0,0034	0,0113	0,0264	0,0481	0,0728
13		–	–	–	0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504
14		–	–	–	0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324
15		–	–	–	–	0,0002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194
16		–	–	–	–	–	0,0003	0,0014	0,0045	0,0109
17		–	–	–	–	–	0,0001	0,0006	0,0021	0,0058
18		–	–	–	–	–	–	0,0002	0,0009	0,0029
19		–	–	–	–	–	–	0,0001	0,0004	0,0014
20		–	–	–	–	–	–	–	0,0002	0,0006
21		–	–	–	–	–	–	–	0,0001	0,0003
22		–	–	–	–	–	–	–	–	0,0001