Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения

Вопросы  теста

Вопрос 1

Найдите координаты точки А. Единичный отрезок равен одной клетке.

Варианты ответов

1. (0; 4; 0)
2. (0; 0; 4)
3. (4; 0; 0)
4. (4; 4; 4)
5. (0; 4; 4)

Вопрос 2

Чтобы найти координаты вектора надо

Варианты ответов

1. координаты конца вектора сложить с соответствующими координатами начала вектора.
2. из координат начала вектора вычесть соответствующие координаты конца вектора.
3. из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Вопрос 3

Найдите координаты вектора, изображённого на рисунке, если ОА=6 и ОВ=3.

Варианты ответов

1. (6, 0, -3)
2. (3, 0, 0)
3. (-6, 0, 3)

Вопрос 4

Даны точки А(6; -8; 7) и В(3; 7; -6). Найите координаты вектора с началом в точке А и концом в точке В.

Варианты ответов

1. (-3, -1, -13)
2. (-3, 15, -13)
3. (3, -15, 1)

Вопрос 5

Как расположена точка относительно прямоуольной системы координат, если одна её координата равна нулю?

Варианты ответов

1. Лежит в координатной плоскости
2. Лежит на координатной оси
3. Является началом координат

Вопрос 6

Варианты ответов

1. {4; -3; 13}
2. {5; 3; 10}
3. {-4; 17; 6}

Вопрос 7

Найдите длину отрезка АВ. Известны координаты точек А и В.
А(6; 8; 4,5) В(5; 9; 5).

Варианты ответов

1. 2,25
2. 5
3. 1,5

Вопрос 8

Равны ли векторы?

Варианты ответов

1. Равны. У них одинаковые координаты.
2. Равны. Они имеют одинаковую длину.
3. Не равны. У них разные координаты
4. Не равны. Они имеют разную длину

Вопрос 9

Даны точки А(2; -7; 10) и В(-7; -15; 6). Найдите координаты середины этого отрезка.

Варианты ответов

1. (4,5; 11; 8)
2. (-2,5; -11; 8)
3. (2,5; -4; 2)

Вопрос 10

Даны точки А(-1; 5; 3) В(7; -1; 3) С(3;-2; 6) Определите вид треугольника АВС.

Варианты ответов

1. Треугольник АВС равнобедренный
2. Треугольник АВС равносторонний
3. Треугольник АВС прямоугольный

Вопрос 11

Найдите скалярное произведение векторов, если известны их координаты
{3; -8; 2}
{-1; 5; 3}

Варианты ответов

1. 40
2. -49
3. -37

Вопрос 12

Найдите

Варианты ответов

1. 30⁰

2. 45⁰

3. 60⁰

 

	Вставьте недостающие слова
	1.Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана … … …
	2. Прямые с выбранными на них направлениями называются … …, а их общая точка – … …
	3. Начало координат обозначается …, оси координат обозначаются …, …, … и называются Ох – ось … Оу – ось … Оz – ось …
	4. Плоскости, проходящие через оси координат обозначаются: …, …, … и называются …

 

ПРИМЕРЫ

Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой

То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Пример 8

Найти скалярное произведение векторов:
б) и , если даны точки

Решение:
К слову: скалярное произведение получилось отрицательным, значит, угол между данными векторами является тупым. Пытливые умы могут отложить на плоскости векторы от одной точки, и убедиться, что это действительно так.

б) А тут речь идёт о точках и векторах пространства. Сначала найдём векторы:

Надеюсь, эта простейшая задача у вас уже отработана.

По формуле вычислим скалярное произведение:

К слову: скалярное произведение положительно, значит, угол между пространственными векторами является острым.

Ответ: 6

При некотором опыте скалярное произведение можно приноровиться считать устно.

Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения

Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю: векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда . В координатах данный факт запишется следующим образом:
(для векторов пространства).