Некоторые следствия из аксиом

Тема. Основные понятия

И аксиомы стереометрии.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

ВОПРОСЫ ТЕМЫ:

Понятие стереометрии и ее основных фигур.

Аксиомы стереометрии и их следствия.

Практические задания.

4. Домашнее задание:

- задачи; - вопросы для самоконтроля, - указания преподавателя.

Вопрос 1. Понятие стереометрии

И ее основных фигур

Наука геометрия имеет два раздела: планиметрия и стереометрия.

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры и свойства этих фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

 

Основными простейшие фигурами в пространстве являются: точка, прямая, плоскость.

1. Точка пространстве

То́чка – одно из фундаментальных понятий математики, абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нуль-мерный объект).

Точка обозначается одной заглавной буквой латинского алфавита: А, В, С  и т.д. (Рис.1)

Рис.1

 

 

2. Прямая в пространстве

Прямая в пространстве – это линия, которая проходит от одной точки к другой, а также за пределы этих точек в пространстве.

Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т.д.

Линию в пространстве, в том числе и прямую можно рассматривать как пересечение двух поверхностей (для прямой линии – это пересечение двух плоскостей, определение которой дано выше). Поэтому линию в пространстве, в том числе и прямую, можно определить как геометрическое место точек, координаты которых одновременно удовлетворяют уравнению каждой поверхности:

Прямая в пространстве изображается в виде прямой линии (Рис.2).

Рис.2

 

Прямая имеет только одно измерение – длину.

Прямая линия обозначается двумя вариантами:

- строчной буквой латинского алфавита – а, в, с, и т.д.

- двумя заглавными буквами латинского алфавита – АВ, ВС, АС и т.д.

3. Плоскость в пространстве

Представление о плоскости в пространстве дает ровная поверхность, объективно существующая в окружающем нас пространстве (пол, стена, крышка стола и т.п.). Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять простирающейся неограниченно во все стороны (Рис.3).

Рис.3

 

Плоскость имеет только два измерения: длину и ширину.

 

На рисунках плоскость изображается в виде параллелограмма или в виде произвольной области (Рис.4).

Рис.4

 

Плоскость обозначается греческими буквами: α, β, γ и т.д.

 

 

Ситуацию о взаимном расположении основных простейших фигур в пространстве можно выразить также с помощью схемы и описать с помощью условных обозначений (Рис.5).

Рис.5

А именно:

точки А и В лежат в плоскости β (или иначе: плоскость β проходит через точки А и В), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости.

 

Коротко можно записать в виде условных обозначений:

А ∈ β,   B ∈ β,

 

Отсюда следует: Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие данной плоскости.

Вопрос 2. Аксиомы стереометрии

И их следствия

Аксиома 1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна (Рис.6).

  Рис.6

Аксиома 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости (Рис.7).

Можно выразить ситуацию иначе:

- Прямая лежит на плоскости.

- Плоскость проходит через прямую.

Рис.7

Из аксиомы 2 следует:

- если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки;

- если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются (Рис.8).

  Рис.8

Аксиома 3

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (Рис.9).

В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка.

Рис.9

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1

Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна (Рис.10).

Рис.10

Теорема 2

Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна (Рис.11).

Рис.11

Вопрос 3. Практические задания

Условие:

Дан тетраэдр АВСD (Рис. 1).

Даны следующие точки:

- точка Е – внутренняя точка ребра АВ,

- точка Р – внутренняя точка отрезка ЕD,

- точки М и К, соответственно, на ребрах ВD и DС.

Рис. 1

Из данного условия рассмотрим Задачу 1 и Задачу 2.

Задача 1

а) В какой плоскости лежит прямая РЕ?

Ответ:

1. РЕ ϵ АВD. Прямая РЕ лежит в плоскости АВD, так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой.

2. Точка Е лежит в плоскости АВD и точка Р лежит в этой же плоскости.

3. Значит, по второй аксиоме все точки прямой РЕ лежат в плоскости АВD.

б) В какой плоскости лежит прямая МК?

Ответ:

1. МК ϵ DВС . Прямая MK лежит в плоскости DBC, так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой.

2. Точка M лежит в плоскости DBC и точка K лежит в плоскости DBC.

3. По второй аксиоме все точки прямой MK лежат в плоскости DBC.

 

в) В каких плоскостях лежит прямая BD?

Ответ:

1. Прямая BD лежит в плоскости BDА и в плоскости BDС. Значит, прямая BD одновременно лежит в двух плоскостях.

2. Прямая BD – это линия пересечения двух плоскостей. Говорят, что грани АBD и BDС пересекаются по прямой BD. Это можно записать так:

 

г) В каких гранях лежит прямая АВ?

Ответ:

1. Прямая АB лежит в грани АВС и в грани АBD.

2. Значит, прямая АВ – это линия пересечения двух этих граней.

 

д) В каких гранях лежит прямая ЕС?

Ответ:

1. Прямая EC лежит в плоскости АВС и в плоскости ECD, так как точки Е и С лежат одновременно в плоскости АВС и в плоскости ECD.

2. Значит, прямая ЕС есть линия пересечения этих плоскостей.

 

 

Задача 2

а) Найдите точку пересечения прямой DК с плоскостью АВС.

Решение:

1. Прямая DК содержит точку С.

2. Плоскость АВС содержит точку С.

3. Значит, прямая DК и плоскость АВС пересекаются в точке С.

 

б) Найдите точку пересечения прямой СЕ с плоскостью АDВ.

Решение:

1. Точка Е принадлежит и прямой СЕ, и плоскости АDВ.

2. Значит, прямая СЕ пересекается с плоскостью АDВ в точке Е.

Домашнее задание

Задача 1

Дан тетраэдр АВСD (Рис. 1).

Даны следующие точки:

- точка Е – внутренняя точка ребра АВ,

- точка Р – внутренняя точка отрезка ЕD,

- точки М и К, соответственно, на ребрах ВD и DС.

Рис. 1

а) Найдите точки, лежащие одновременно в плоскостях АDВ и DВС.

б) Найдите прямые, по которым пересекаются плоскость АDВ и DВС.

в) Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости АDВ и СDА.

г) Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости РDС и АВС.

Задача 2

Рис.2

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

В каких плоскостях лежат прямые:

а) AB

б) AC₁

в) DC

 

Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости:

а) ABC    и   ABB₁

б) DCC₁ и    BB₁C.

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Дать определение геометрии.

2. Дать определение стереометрии.

3. Какие основные фигуры в пространстве вы знаете?

4. Как обозначаются основные фигуры в пространстве?

5. Какие аксиомы стереометрии и следствия из них вы знаете?

 

 

Указания к выполнению:

 

Материал законспектировать в тетрадь по математике.

Рассмотреть решение представленных задач.

Выучить аксиомы стереометрии и следствия из аксиом.

Ответить на вопросы для самоконтроля.

Решить задачи из домашнего задания. Решение задач внести в конспект по математике.

Фото/скан конспекта с выполненным домашним заданием прислать на страницу преподавателя вконтакте.