Действия над матрицами

Тема 2. Матрицы и действия над ними

Основные определения

Определение 1. Матрицей называется таблица чисел a_ik вида:

состоящая из m строк и n столбцов. Числа a_ik называются её элементами. Это прямоугольная матрица. В частности, если m =1, n >1, получаем матрицу-строку , а если m >1, n =1, матрицу-столбец: .

Определение 2. Матрица называется невырожденной (неособой), если её определитель и вырожденной (особой), если .

Определение 3. Матрица называется квадратной, если m=n (n – порядок матрицы). В частности, матрица называется квадратной матрицей второго порядка, а матрица - квадратной матрицей третьего порядка.

Определение 4. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали равны нулю: a_ij =0 i¹j.

В частности, диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице называется единичной.

Определение 5. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:

Действия над матрицами

Определение 1. Две матрицы A и B называются равными, если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны. В частности, если

и A = B, то a ₁₁= b ₁₁, a ₁₂= b ₁₂, a ₂₁= b ₂₁, a ₂₂= b ₂₂.

Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать.

Определение 2. Суммой двух матриц A и B называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B (обозначение C=A+B). В частности, для квадратных матриц второго порядка получаем:

, , .

Пример 1. Найдите сумму матриц и .

Сумма нулевой матрицы и любой матрицы A даёт матрицу A: A +0 = A.

Определение 3. Разностью двух матриц A и B называется матрица С, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц A и B (обозначение C=A+B).

Пример 2. Найдите разность матриц и .

Определение 4. Произведение матрицы A на число a называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число a.

Пример 3. Найдите матрицу 3 A +5 B, если , .

, , .

Определение 5. Произведение матриц А × В определено в том и только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведение матрицы А размера m´k на матрицу B размера k´n называется матрица C=A×B размера m´n, элементы которой определяются по формуле:

Данная сумма представляет собой сумму произведений соответствующих элементов строки i матрицы А и столбца j матрицы В.

Рассмотрим правило умножения квадратных матриц второго порядка. Пусть даны две матрицы: и .

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C = AB, равная:

Пример 4. Найдите произведение A·B и B·A матриц и .

Пример 5.

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется, т.е. A·B ≠ B·A.

Произведение единичной матрицы и любой матрицы A даёт матрицу A: EA = AE=A.

Определение 6. Матрица A^T полученная из матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной.

Пример 6. , .

Обратная матрица

Определение 1. Пусть A – квадратная матрица n –го порядка, а E – единичная матрица того же порядка. Матрица A^–1 называется обратной по отношению к матрице A, если выполняются равенства: A×A^–1= A^–1×A=E.

Определение 2. Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычёркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит этот элемент.

Минор элемента a_ik определителя обозначается M_ik.