Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция дифференцируема в области
и пусть в этой области задано некоторое направление
. Производная функции
по направлению
вычисляется по формуле
(1)
Скорость наибольшего роста функции в данной точке (по величине и направлению) определяется вектором, который обозначается символом и называется градиентом функции:
(2)
Пример 1. Найти производную функции в точке
в направлении
. Чему равна величина градиента функции в этой точке?
Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), подсчитаем частные производные в точке :
Значит, производная функции в заданном направлении равна
.
В соответствии с формулой (2) запишем градиент функции в точке – вектор
Величина градиента (модуль вектора) равна . ☻
Пример 2. Найти производную функции в точке
в направлении, составляющем угол
с положительным направлением оси
.
|
|
Решение. Подсчитаем сначала частные производные в точке :
.
Найдем направляющие косинусы:
.
По формуле (1) запишем
. ☻
Пример 3. Для функции определить угол между градиентами в точках
и
.
Решение. Подсчитаем сначала частные производные:
Теперь можем записать градиент функции в точках и
:
,
.
Очевидно, эти векторы ортогональны – их скалярное произведение равно нулю: . Значит, угол между градиентами равен
. ☻
Формула Тейлора для функций двух переменных
Если функция имеет в некоторой окрестности точки
непрерывные частные производные до (
) -го порядка включительно, то в этой окрестности справедлива формула
Здесь берется в точке
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид
,
,
,
,
.
Остаточный член в форме Пеано (при более слабых предположениях).
,
.
Пример 4. Для функции записать формулу Тейлора в окрестности точки
.
Решение. Подсчитаем . Найдем частные производные первого порядка:
Запишем первый дифференциал в точке :
.
Найдем вторые производные:
,
,
.
Запишем второй дифференциал в точке :
.
Все производные порядка выше второго равны нулю. Формула Тейлора принимает вид
.
Фактически мы перегруппировали данный многочлен по степеням и
. ☻
Пример 5. Записать формулу Тейлора -го порядка для функции
в окрестности точки
.
Решение. Находим . Подсчитаем частные производные первого порядка
.
Запишем первый дифференциал в точке :
.
Подсчитаем вторые производные:
,
,
.
Запишем второй дифференциал в точке :
.
Продолжаем дифференцировать: , все остальные производные 3-го порядка равны нулю.
|
|
Запишем третий дифференциал в точке :
.
Легко заметить, что дальнейшее дифференцирование по приводит к формуле
. Значит,
,
.
Формула Тейлора принимает вид:
,
где ,
. ☻
В частном случае при получаем формулу Маклорена.
Пример 6. Функцию разложить по формуле Маклорена до членов второго порядка функцию
.
Решение. Находим . Чтобы записать первый дифференциал, находим
.
Так как , то
.
Чтобы записать второй дифференциал, находим
.
Так как , то
.
Формула Маклорена принимает вид
,
. ☻