Внецентренное растяжение и сжатие

Рисунок 5

Рисунок6

Опасное сечение балки совпадает с сечением в заделке.

3. Расставим в угловых точках опасного сечения (7) знаки изгибающих моментов, а следовательно и напряжений, считая растягивающий момент положительным, а сжимающий – отрицательным.

Рисунок 7

Найдем нормальные напряжения в угловых точках сечения:

где                      

Тогда                             

Угол наклона нейтральной линии найдем по формуле (5):

Получаем                              

Зная напряжение в точках А и С и равенство нулю  на нейтральной линии, строим эпюру  (рис.7).

4 Определяем положение нейтральной линии. Она проходит через центр тяжести сечения и через II и IV квадранты (рис. 8).

Рисунок 8

Внецентренное растяжение и сжатие

Рассмотрим частный случай сложного сопротивления, когда брус растягивается (или сжимается) силами, параллельными оси бруса, так, что линия действия равнодействующей не совпадает с осью бруса (рис.9, а).

Рисунок 9

Вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, а смещена относительно его оси и остается ей параллельна, называется внецентренным растяжением или сжатием.

Точка приложения равнодействующей Р называется полюсом силы.

Пусть точка приложения внешних сил имеет координаты х_p, у_p. При такой нагрузке в любом поперечном сечении бруса действуют продольная сила   и изгибающие моменты (рис. 9, б):

Таким образом, внецентренное растяжение-сжатие оказывается идентичным косому изгибу. В отличие от последнего, однако, в поперечном сечении бруса возникают не только изгибающие моменты, но и продольная сила .

В произвольной точке с координатами x, y   нормальное напряжение s будет складываться из напряжений осевого растяжения (сжатия) силой  и напряжений от чистого изгиба моментами    

                        (9)

Очевидно, пространственная эпюра образует плоскость (поскольку входят в уравнение в первой степени), не проходящую через центр тяжести сечения (так как при ).

Подставив в уравнения (17.1) вместо N, ,  их значения, получим

.

Вынесем  за скобки, выразим моменты инерции через радиусы инерции (, ) и получим формулу для определения нормального напряжения в произвольной точке сечения

                                 .                                (10)

Переменными в формулах (17.1) и (17.2) являются два последних слагаемых, отражающих влияние изгиба. Так как при изгибе наибольшие напряжения будут в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии, то, как и при косом изгибе, надо отыскивать положение нейтральной линии.

Обозначим координаты точки, принадлежащей нейтральной линии, через x₀ и y₀. На нейтральной линии , то есть

                               .

Так как , то                                                  (11)

где  - координаты точки приложения равнодействующей внешних

                  сил;

               - координаты точек на нейтральной линии.

Уравнение (11) представляет собой уравнение нейтральной линии, из которого видно, что нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения

Чтобы построить эту прямую, проще всего вычислить отрезки, отсекаемые ею на осях координат. Обозначим эти отрезки  и  (рис.10).

      Чтобы найти отрезок , отсекаемый на оси Ох, надо в уравнении (11) положить , .

Рисунок 10

Тогда получим

                                             .

Откуда                                     .                                 (12)

Аналогично, полагая , , получим

                                                   .                                            (13)

Из выражений (12) и (13) видно, что если y_p и x_p положительны, то отрезки  и  будут отрицательны, то есть нейтральная линия всегда расположена в квадранте, противоположном тому, в котором находится точка приложения внешней силы.

Теперь, проводя параллельно нейтральной линии касательные к контуру сечения, найдем наиболее напряженные точки А и В в растянутой и сжатой зонах сечения и построим эпюру нормальных напряжений  (рис10).

Напряжения в этих точках и условия прочности имеют вид

               .          (14)

  .                    (15)

Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр и др.), координаты x, y угловых точек одновременно достигают максимальных значений. Поэтому формулы (17.6) и (17.7) можно записать в виде:

                        (16)

Пример: Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рис.2.5, сжимается продольной силой Р, приложенной в точке А.

Требуется:

1) Вычислить наибольшие растягивающие и наибольшие сжима-ющие напряжения в поперечном и сечении, выразив их через величину сжимающей силы Р и размеры сечения.

2) Найти допускаемую нагрузку [Р] при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях чугуна на сжатие [σ_с] и растяжение [σ_р].

3)   Построить ядро сечения.

Дано: схема 1, а= 6см; b= 6 см; [σ_р]=21МПа; [σ_с]=110МПа

Решение

1) Определяем геометрические характеристики сечения (рис 1).

Рис. 1 Схема сечения

Сечение представляем как сложное состоящее из 3х прямоугольников. Площадь сечения

А=3∙а∙в+2∙в∙а+3∙а∙в =3∙6∙6+2∙6∙6+3∙6∙6=288 см²

Определяем положение центра тяжести всего сечения. Так как сечение симметрично относительно осей  Х и У, то центр тяжести лежит в центре.

Проводим главные центральные оси.

Рисунок 1.1 Схема сечения.

Определяем осевые моменты инерции всего сечения относительно главных центральных осей фигуры по формулам:

,        .

Моменты инерции прямоугольника относительно собственных главных центральных осей равны

;

;         

Расстояние между главными центральными осями х, у и собственными осями определяем по чертежу

Расстояние между главной центральной осью х и осями х₁, х₂, х₃:

а₁=в/2+в=6/2+6=9см;

а₃= – в/2 – в = – 6/2 – 6= – 9см

    а₂=0, так как главная центральная ось  х₂ совпадает с главной центральной осью сечения

Расстояние между главной центральной осью у и осями у₁, у₂, у₃равны нулю, так как главные центральные оси  у₁, у₂, у₃ совпадают с главной центральной осью сечения:

Подставив, найденные величины в формулы для вычисления главных центральных моментов инерции

Квадраты главных центральных радиусов инерции

Определяем положение нулевой линии

Нормальные напряжения при внецентренном действии продольной силы определяется по формуле

Где  Х_Р; У_Р –координаты точки приложения продольной силы; х,у– координаты текущей точки поперечного сечения стержня.

По условию задачи сила Р приложена в точке А, координаты которой в системе главных центральных осей:

Х_Р= – (3+6)= –9см; У_Р=–(6+6)= –12см.

Проводим нулевую линию, для чего приравниваем выражение нормальных напряжений нулю.

, то равным 0 может быть выражение в скобках

Перепишем это уравнение прямой в виде уравнения прямой в отрезках, отсекаемых на осях координат.

где отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат

На осях координат х, у откладываем в масштабе величины найденных отрезков и проводим нулевую линию

Рис.1.2 Расчетная схема сечения.

2)  Определяем допускаемую нагрузку  [Р]

Вычисление максимальных нормальных напряжений в поперечном сечении бруса.

Максимальные напряжения возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии. В рассматриваемой задаче это точки А и В.

В точке А с координатами Х_А=  – (3+6)= –9см; У_А=–(6+6)= –12см.;. напряжения сжимающие, в точке В с координатами Х_В=  (3+6)= 9см; У_В= (6+6)= 12см напряжения растягивающие. Координаты опасных точек находим по рисунку 1.2

Максимальные растягивающие  и сжимающие напряжения выражаем через внешнюю нагрузку

Откуда

, где

Откуда

, где

Допускаемая нагрузка [Р] из двух значений, полученных для растянутой и сжатой зон, выбираем меньшую величину [Р]=69,4кН.