Что такое последовательность и чем она отличается от обычной функции?

Лекция №157

Тема: Последовательности.

Цель:

Учебная:

- познакомить обучающихся с последовательностями и их свойствами;

Развивающая:

- формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.

Воспитательная:

- способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Методы обучения: практическая работа, контрольная работа.

Оборудование: компьютер, проектор.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Формируемые на уроке ПК и ОК

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Что такое последовательность и чем она отличается от обычной функции?

3. Зачем рассматривают пределы последовательностей?

4. Почему надо доказывать существование предела?

5. Задание на дом.

6. Подведение итогов.

Ход занятия.

1. Организационный момент – приветствие, проверка посещаемости.

Занятие 2 Последовательности

Что такое последовательность и чем она отличается от обычной функции?

1. Последовательность как функция. Последовательность можно понимать как частный вид функции. Числовая последовательность определяется пра-вилом, по которому для всякого натурального числа n можно вычислить n -й член этой последовательности. Таким образом, областью определения последовательности как функции является множество N натуральных чисел. Значением этой функции является число. Если функцию обозначить буквой f, то её значение в точке n запишется как f (n). Однако для последовательностей традиционно выбирается другое обоз-начение – члены последовательности обозначаются малыми латинскими буквами – a, b, c и т.д., а значение аргумента n пишется в виде индекса: a_n, b_n, c_n и т.д.

Главная особенность последователь-ности состоит в том, что значения аргумента (номера членов последова-тельности) расположены друг за другом, и их можно перебирать, двигаясь от одного номера к следующему. Это позволяет использовать особый способ задания последовательности, который неприменим к функции общего вида и называется рекуррентным. При обычных способах задания функции можно взять любое

Числовые
последовательности

1. 1, 2, 3, 4, 5, … a_n = n.

2. 1, 4, 9, 16, 25, … a_n = n ²

3. 1, 2, 4, 8, 16, … a_n = 2 ^{n -1}

4. 1, , , , …      a_n =

5. , , , , …       a_n =

6. , , , , …    a_n =

 

Общий член
последовательности

 

a_n

 

Последовательность сумм

 

{ a_n } – данная последовательность

{ s_n } – последовательность сумм

=

= +

= + +

……….

= s_n +

      Примеры                          значение аргумента и для него найти соот-

Правила вычисления              найти число С такое, что a_n ≤ С при всех n.

Итак,  = 1, что мы, и S_n < S. Это означает, что последовательно-

грессия со знаменателем q = 0,01

Применяем формулу:

2 +  +  ∙  =
= 2 +  +  = 2 +  =

a_n > 0, то его можно возвести в квадрат и по-лучить для проверки неравенство a ² – a_n – 2 < 0. Решив неравенство х ² – х – 2 < 0, получим промежуток (–1; 2), в котором лежат числа последовательности (0 < a_n < 2). Существование предела полностью доказано.

 

Домашнее задание

Учебник Башмакова (О-1), стр. 165-171

Учебник Никольского, 11 класс (Д-3), §2.1

Итог урока

Обучающиеся отвечают на вопросы, что они сегодня изучили, что было понятно, а что нет.