Для этого используют вторую производную функции

· Если вторая производная равна 0, то это точка перегиба.

· Если вторая производная больше 0, то на этом интервале график обладает выпуклостью вниз.

· Если вторая производная меньше 0, то на этом интервале график обладает выпуклостью вверх.

Продолжим уточнение построения графика рассматриваемой функции f(x)=

Так как , то 3х²-4

 при х= - , х =

Причём, при х< -  и х >  вторая производная больше 0, то есть на этих интервалах график обладает выпуклостью вниз.

При -  < х <  вторая производная меньше 0, то есть на этом интервале график обладает выпуклостью вверх.

· Закрепление и проверка уровня усвоения

Вариант 1

1. В чем сущность физического смысла производной^/?

А. Скорость. Б. Ускорение.В. Угловой коэффициент.Г. Не знаю.

2. Точка движется по закону S(t)=2t³-3t. Чему равна скорость в момент t ₀ =1с?

А. 15. Б. 12. В. 9. Г. 3.

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S=gt²/2. Назовите формулу ускорения.

А. 2gt/2. Б. 2gt. В. Gt Г. g.

4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)=t³/3-2t²+3t+1. В какие моменты времени ее скорость будет равна 0?

А. 1 и 3.      Б. 1 и 4.          В. 2.                  Г. 2 и 0.

5. Скорость тела определяется по формуле V(t)=5t³+t². Чему равно ускорение тела в момент времени t ₀ =1с?

А. 17.                     Б. 32.                      В. 30.                  Г. 16.

 

Отыщите функцию, среди предложенных, исходя из её «автобиографии»:

Я – функция сложная, это известно,

Ещё расскажу, если Вам интересно,

Что точку разрыва и корень имею,

И есть интервал, где расти не посмею.

Во всём остальном положительна, право.

И это конечно не ради забавы.

Для чисел больших я стремлюсь к единице.

Найдите меня среди прочих в таблице.

У=0,25х4	У=х3-0,5х2-2х+3	У=
У=	У=	У=
У=(х2-1)2	У=х(1-х)	У=

 

 

7. Примеры использования производной. (Проверочная работа)   1. Вычислить производные функций У(х) =  2 +3 У(х) = 2. Тело движется по закону у = + +20. Определите скорость и ускорение в момент времени 2 с   3. Постройте график функции У(х)  = - 4   8. Первообразная.                   Тема: Первообразная и ее свойства.   Определение 1. Функцию F (x), заданную на некотором промежутке X, называют первообразной для функции заданной на том же промежутке, если для всех выполняется равенство F^|(x) = f (x).    Например. (х²) ^| = 2x, из этого равенства следует, что функция х² является первообразной на всей числовой оси                 для функции 2x.   Используя определение первообразной, выполните упражнение.    Проверьте, что функция F является первообразной для функции f, если 1) f (x) = 1- 2 cos 2x,                 F (x) = x - sin 2x. 2) F (x) = - cos 5x,                    f (x) = 5 sin 5x. 3) F (x) = x sin x                      f (x) = sinx + x cosx          Вопрос: Является ли функция х²   единственной первообразной для функции 2х? Задание: Найти производную функций: F (x)= х²  + число F (x)= х² + 10 F (x)= х^{2 _} 3,5 F (x) = х²  +С  Вывод: любая функция имеет бесконечно много первообразных.         Всякая функция вида х² + С, где С – некоторое число,           является первообразной функции х²   Теорема о первообразной Если функция f имеет на промежутке первообразную F, то для любого числа С функция F + C также является первообразной для f. Иных первообразных функция f на Х не имеет.                      Вопрос: в чем заключается задача отыскания всех первообразных для данной функции? Вывод Задача отыскания всех первообразных, решается отысканием какой-нибудь одной: если такая первообразная найдена, то любая другая получается из нее прибавлением постоянной. 1. Найдите функцию F, если известно, что f'(x) = 3х². 2. Вместо точек поставьте какую-нибудь функцию, удовлетворяющую равенству: 3. Являются ли первообразными для одной и той же функции следующие функции: ПРОВЕРКА ЗНАНИЙ Вариант I 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке (-∞;∞): 2. Найдите одну из первообразных для данной функции на R:   9. Неопределённый интеграл и его свойства. Нахождение неопределённого интеграла.   Тема: Неопределённый интеграл и его свойства. Нахождение неопределённого интеграла. Совокупность всех первообразных функции f называют интегралом это функции.   Любой неопределенный интеграл имеет вид: Сразу разбираемся в обозначениях и терминах: – значок интеграла. – подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»). – значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет. – подынтегральное выражение или «начинка» интеграла. – первообразная функция. – множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа . Вычислить интеграл – это значит найти определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей ИНТЕГРАЛОВ Еще раз посмотрим на запись: Посмотрим в таблицу интегралов НА ФОРЗАЦЕ УЧЕБНИКА Что происходит? Левые части у нас превращаются в другие функции: . любой неопределенный интеграл имеет вид:   Свойства интеграла 1.Интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых – интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от каждой функции в отдельности. Данное свойство справедливо для любого количества слагаемых.   2.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла , где – постоянный множитель можно (и нужно) вынести за знак интеграла. Решить интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию.   , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко:   Пример 1 Найти  интеграл. Выполнить проверку.     10. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница     11. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.   Тема: Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.   Устно: Найти общий вид первообразной для функции f: Ответы:  Определение криволинейной трапеции. 2. Рассматриваем рисунки. Выясняем, какие из предложенных являются криволинейными трапециями.     С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида. Пусть фигура P ограничена прямыми х = a, x = b и графиками функций y = f (x) и y = g (x), причем на отрезке [ a; b ] выполняется неравенство g (x) f (x). Она ограничена сверху и снизу графиками функций y = f (x) и y = g (x), причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [ a; b ]. Ее площадь можно найти как разность площадей фигур: a, b – границы интегрирования (точки пересечения графиков функций y = f (x) и y = g (x))  Вычислить площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке. Вариант 1 Ответ: Вариант II Ответ: 4.     ПРОВЕРКА ЗНАНИЙ 1. Как называется функция F(x) для функции f(x)? 2. Неопределенный интеграл – это… 3. Каким действием можно проверить результат интегрирования? 4. Назовите основные методы интегрирования. 5. Криволинейная трапеция – это… 6. Как называется приращение первообразных функций F(b) –F(a) при изменении аргумента х от х=a до х=b? 7. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? 8. Как вычислить площадь фигуры, ограниченной ЛИНИЯМИ 9. 9.1. Вычислите интеграл Ответ: 1) 1; 2) -3; 3) 0; 4) 2. 9.2. Вычислите интеграл Ответ: 1) 10/3; 2) 26/3; 3) 6; 4) 8/3. 10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = 1 - х2 и осью Ох. Ответ: 1) 2/3; 2) 8/3; 3) 4/3; 4) 1. 11. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin2х; у = 0; х = 0 и х = /2. Ответ: 1) 2; 2) 1; 3) 1/2; 4) 3/2. 12. ЗАПИСАТЬалгоритм вычисления площади фигуры, ограниченной линиями у = х² – 6х +11 и у = х +1. И вычислить. Алгоритм: 1. Определяем границы плоской фигуры 2. Если границы не указаны, то находим их, решая уравнение f(x) =0 или f(x)=g(х) 3. Строим график функции / функций / 4. Запишем формулу Ньютона-Лейбница. 5. Находим первообразную функции. 6. Вычисляем значение по формуле.   Домашнее задание     Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1 вариант  у = (х – 3)² , у = 0, х = 1, х = 4. 2 вариант у = х – 2, у = х² - 4х +2. 3 вариант      у = х, у = 5 – х, х =1, х = 2 12. Простейшие комбинаторные задачи. 13. Комбинаторикойназывают область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов. Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки - соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Размещения - соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами. Сочетания - соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом (в современном толковом словаре изд. «Большая Советская Энциклопедия»). С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы. · Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». · Первоначально комбинаторика возникла в XVI в в связи с распространением различных азартных игр. · Основы комбинаторики и теории вероятностей создали и разработали французские математики XVII века Пьер Ферма и Блез Паскаль. · Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и другие игры. Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты. · В XII веке индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями. · В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). Ибн Эзра обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчёта и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний. Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей. · Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома. Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике. В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» впервые встречается у Паскаля. Термин «перестановка» употребил в указанной книге Якоб Бернулли. Бернулли использовал и термин «размещение». После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала. В начале XX века начала развиваться комбинаторная геометрия: были доказаны теоремы Минковского — Радона, Радона, Хелли,Юнга, Бляшке, а также строго доказана изопериметрическая теорема. На стыке топологии, анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука — Улама и Люстерника — Шнирельмана. Во второй четверти XX века были поставлены проблема Борсука ипроблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера. В 1940-х годах оформилась теория Рамсея. Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш, который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики. Области применения комбинаторики:

• учебные заведения (составление расписаний)
• сфера общественного питания (составление меню)
• лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
• география (раскраска карт)
• спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
• производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)
• агротехника (размещение посевов на нескольких полях) (слайд 4)
• азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
• химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
• экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) (слайд 5)
• криптография (разработка методов шифрования)
• доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

· Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Для любых натуральных чисел n и k, таких, что k<n, справедливы соотношения: Образцы решения заданий 1. Сколько трехзначных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?Р ешение: И з шести данных цифр можно составить чисел, но среди них будут и трехзначные числа, начинающиеся с нуля (чего, естественно, быть не может). Посчитаем количество таких чисел. В них на первом месте стоит нуль. Значит, на оставшиеся две позиции размещают оставшиеся пять цифр. Поэтому таких чисел будет С ледовательно, искомых чисел можно получить: Ответ: 100. 2. Сколько существует трехзначных чисел, в которых цифры различные и нечетные. Решение: Н ечётных цифр пять: 1,3,5,7,9. Их надо разместить на три позиции. Поэтому количество искомых чисел равно числу размещения. Ответ: 60. 3. Найти число диагоналей n – угольника. Решение: И меем n точек плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Соединим эти точки попарно всеми возможными способами. Будем иметь отрезков. Из этих отрезков n отрезков являются сторонами многоугольника. Тогда диагоналей будет: В соответствии с полученной формулой имеем: у треугольника 0 диагоналей, у четырехугольника 2 диагонали, у пятиугольника 5 диагоналей, у шестиугольника 9 диагоналей и т.д. 4. Сколькими способами можно составить расписание на вторник, если изучаются 10 предметов и должно быть 6 уроков (порядок уроков неважен). Р ешение:И спользуем формулу для числа сочетаний из n элементов по k и получим способов. Ответ: 210. 5 Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках? Решение: Р₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов. Ответ:120 способов. 7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз? Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно Р₃=3!, где 3!=1 · 2 · 3=6. Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3. Ответ:6 чисел. 7.Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец? Решение: Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами, считаются разными, поэтому: _{Ответ: 360.} 8. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз? Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132 и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти элементов по три. По формуле числа размещений находим: Ответ:504 трехзначных чисел. 9. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек? Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно _{Ответ: 35 способов.} 10. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест? Решение: А₁₂³ = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест. Ответ: 1320 вариантов. 11.На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4´100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах? Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов. Ответ: 5040 способов.   12. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики? Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар. Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа. Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.   13. Студентам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами студент может выбрать из них 6 книг? Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов. Ответ:210 способов. 14. В группе  1М- 7 студентов, в  1МБ - 9 студентов, а в1Ф - 8 студентов. Для работы на конференции надо выбрать двух студентов из 1М, трех – 1МБ, и одного – из 1Ф. Сколько существует способов выбора студентов для работы конференции?   Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из первой совокупности (С₇²) может сочетаться с каждым вариантом выбора из второй (С₉³) и с каждым вариантом выбора третьей (С₈¹) по правилу умножения получаем: Ответ: 14 112 способов.   15.Студенты Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу пятеро студентов могут занять очередь для игры в настольный теннис? Решение: Первым в очередь мог встать любой студент, вторым – любой из оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым – студентов, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По правилу умножения у пяти студентов существует 5· 4×3×2×1=120 способов занять очередь. Ответ:120 способов.     Задания для самостоятельного решения 1. Сколькими способами читатель может выбрать две книги из пяти возможных? Решение. Искомое число способов равно числу сочетаний из пяти по две: . Итак, из пяти книжек две читатель может выбрать десятью способами. 2. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из четырех пятирублевых монет и из четырех двухрублевых монет? Решение. Эта задача о числе сочетаний из двух по четыре с повторениями: . 3. Вычислить: а)              б) 4. Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию: а) б) в)   14. Основные теоремы и формулы теории вероятностей. 15.   16. Решение задач. 17. Задача1    Наудачу бросают два кубика. Какова вероятность того, что а) на обоих кубиках выпало 5 очков? б) выпало одинаковое число очков? в) сумма выпавших очков равна 5? Решение: а) А- на первом кубике 5 очков т - благоприятных исходов – 1 п – общее количество исходов – 6  Р(А) =   В – на втором кубике 5 очков (аналогично) Р(В) = С- на обоих по 5 очков Р(С) б) А - выпало одинаковое число очков т – благоприятные исходы: 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6: всего 6 ожиданий п – общее количество исходов 6² = 36 в) А – сумма равна пяти. т – благоприятные исходы:1 и 4, 2 и 3, 3 и 2, 4 и 1: всего 4 ожиданий п – общее количество исходов 36 Задача 2   Вы оказались в заколдованном замке и находитесь в круглом зале с 10 дверьми, 5 из которых заперты. Вам даётся один шанс избежать колдовства: Вы должны наугад выбрать две двери, одна должна быть открыта, другая закрыта. Найдите вероятность того, что через одну дверь можно выйти, но через другую вернуться уже нельзя. Решение: т = п = Задача 3  На каждой карточке написана одна буква. Несколько карточек наугад выкладывают одна за другой. Какова вероятность тог, что при выкладывании а) 3 карточек получится слово Р О Т б) 4 карточек получится слово С О Р Т в) 5 карточек получится слово С П О Р Т Решение: а) А – слово РОТ п – общее число исходов: = 60 т - благоприятное число:1 б) В – слово СОРТ п - общее число исходов:   т - благоприятное: 1 в) С- слово С П О Р Т п =   т = 1 Задача 4 В коробке 15 неразличимых конфет, из которых 7 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой. Берут наугад две конфеты. Какова вероятность того, что а) обе конфеты с шоколадной начинкой б) обе конфеты с фруктовой начинкой в) одна с шоколадной, другая с фруктовой г) хотя бы одна с шоколадной Решение: общее число исходов: п = а) А – обе шоколадные т =   б) В – обе с фруктовой начинкой т = в) С- одна с шоколадной, другая с фруктовой т = г) D- или обе или одна с шоколадной начинкой т =   18. Объем призмы                     Тема       Объем призмы. Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда . Объем - одна из основных величин, связанных с геометрическими телами. Задача вычисления объемов простейших тел, идущая от практических потребностей, была одним из стимулов развития геометрии. Математика Древнего Востока (Вавилония, Египет) располагала рядом правил для вычисления объема тел, с которыми чаще всего приходилось встречаться на практике (призматические брусья; пирамиды полные и усеченные, цилиндры). Среди формул объема были и неточные, дававшие не слишком заметную процентную ошибку лишь в пределах употребительных линейных размеров тела. Но в «началах» Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила для вычисления объемов многоугольников и некоторых круглых тел (цилиндра, конуса, шара и их частей).Чтобы найти объем сначала выбирают единицу измерения. В Древнем Риме, например, одной из единиц объема служила амфора (около 25,5 л). Нефть во всем мире принято сейчас измерять в англо-американских единицах - баррелях, т. е. бочках емкостью 159 л. В России распространенная в быту мера объема - ведро. Объем - это положительная величина. Ну а в геометрии за единицу объема принимают объем куба с ребром единичной длины. Подчеркнем, что объем куба полностью определяется длиной ребра. 1  - это куб с ребром 1 см. 1  - это куб с ребром 1 м и т.д   Свойства объемов: 1. Равные тела имеют равные объемы (рис. 159 а), б) в учебнике) 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел (рис. 160 в учебнике). 3. Если одно тело содержит другое, то объем первого тела не меньше объема второго. Следствие: объем куба с ребром 1/n равен 1/n3. Теорема: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений. Прямоугольный параллелепипед, а, b, с - измерения, V - объем. Доказать: V = а · b · с. Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Задача № 648 а), б). Найти объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны а и b, а высота равна h, если: а = 11, b = 12, h = 15; б) I B (а): II В (б): Задача № 649 б). Дано: ABCD - куб, А = 3√2 (рис. 1). Найти: V.   Решение: Пусть ребро куба равно а, тогда (Ответ: 6√6 .) Задача № 652. Дано: ABCD - прямоугольный параллелепипед. А = 13 см, BD = 12 см, В  = 11 см (рис. 1). Найти: V. Решение: V = AD · АВ · СС₁. 1) Диагональ и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением: +  + = , так как +  =   имеем, 169= 144+ , C  = 5 см. 2) 3) Тогда (Ответ: 240√2 см3.) Задача № 648 в), г). в) г) (Ответ: 3,2√5.) Объем прямой призмы  равен произведению площади основания на высоту. 1. Прочитать самостоятельно доказательства следствия № 2. 2. Запись формулы объема прямой призмы, в основании которой треугольник АВС в тетради: Задача № 653. Дано: ABCD - прямоугольный параллелепипед, диагональ D₁B = 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. 6). Найти: V. Решение: B C₁ - проекция D₁B на плоскость боковой грани B B₁ C₁С, поэтому ∠ D₁B C₁= 30°, ∠ D₁B B₁= 45°. 1. Рассмотрим ΔD₁C₁B: ∠D₁C₁B = 90° (рис.7).   2. Рассмотрим ΔD₁B₁B - прямоугольный: 3. Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением: (Ответ: V = 729√2 Задание на дом   19. Объем пирамиды, усеченной пирамиды   Объем пирамиды Объем пирамиды равен одной трети, произведения площади основания на высоту. Решение задач (по готовым чертежам) Дано: DABC- правильная пирамида. АВ = 3; AD = 2√3 (рис. 3). Найти: a) Socн.; б) АО; в) DO; г) V. Решение: а) (используем формулу для вычисления площади правильного треугольника). б) (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника). в) (по теореме Пифагора). г) (Ответ: ) Работа с учебником. Изучение формулы объема усеченной пирамиды   20. Объем конуса, усеченного конуса   Объем конуса Объёмы простейших тел

Фигура	Формула	Обозначения
Куб		— ребро куба
Призма		— площадь основания, — высота призмы
Цилиндр		— радиус, — высота цилиндра
Шар		— радиус
Пирамида		— площадь основания, — высота пирамиды
Конус		— радиус основания, — высота конуса

 

Задача № 704. Дано: конус, h = SO = AB = H (рис. 2).Найти: V.

 

Решение: (Ответ: )

 

№ 1. Образующая конус l составляет с плоскостью основания угол α. Найдите объем конуса.

№ 2. Радиусы оснований усеченного конуса R и r; образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем конуса.

№ 3. Длина образующей конуса равна l, а длина окружности основания С. Найдите объем конуса.

Решение задач.№ 1. (рис. 9)

ΔРАВ - осевое сечение конуса, РА = РВ = l, РО - высота, Из ΔAPO (∠O = 90°): (Ответ: )

№ 2. (рис. 10).

(R > r)

Дополнить усеченный конус до полного и тогда где Из ΔAPO (∠O = 90°): ∠APO = 45°, значит, РО =AO = R. Из ΔА1PO1 (∠O = 90°): ∠A1 = 45°, значит,

№ 3. (рис. 12).

ΔAPB – осевое сечение конуса. Из ΔAPO(∠O = 90°): по теореме Пифагора (Ответ: )

 

- Отметим, что формула объема усеченного конуса такая же, как и формула объема усеченной пирамиды.

Домашнее задание.

 

№ 1. Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 . (Ответ: 84 )

№ 2. Объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м равен: (Ответ: 32π .)

№ 3. Найдите площадь основания конуса, если его объем равен 256 , а высота 4 м. (Ответ: 252 )

№ 4. Вычислите объем усеченного конуса, высота которого 3 см, а площадь оснований 16  и 4  (Ответ: 32 )

№ 5. Вычислите объем усеченного конуса, если радиусы его оснований равны 3 см и 9 см, а высота 6 см. (Ответ: 234π )

 

 

21. Объем цилиндра и шара.   Объем цилиндра Задача 1. Дано: цилиндр, Sосн. = Q, Sсеч. = S (рис. 1). Найти: V цилиндра Решение: DC = h, т.е. (Ответ: )   Задача 2. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 8√2 см  (рис. 3). Найдите: Vцил. Решение: 1) 2) Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат. Пусть АВ = ВС = X см, тогда не удовлетворяет условию задачи. Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. h = 8 (см). 3) Найдем радиус основания: r = 1/2AD = 4 см, тогда 4) (Ответ: 128 ) Задача 3.  Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6√2 см Найдите: Vцил. Решение:1) 2) Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, так как ABCD - квадрат. Обозначим АВ = ВС = х см, тогда не удовлетворяет условию задачи, т. е. АВ = ВС = 6 см, и так h = 6 см. 3) Найдем радиус основания 4) (Ответ: 54п ) Задача 4. Дано: цилиндр. (MNKL) || ОО’, ∪MAL = 120°, АО = R, ∠MKL = 30° (рис. 6).Найти: Vцил. Решение:1) 2) Из ΔMOL найдем ML: ∠MOL = ∪MAL = 120°. ΔMOL - равнобедренный, проведем ОА ⊥ ML. ОА ∩ ML = Н, ОН - высота, медиана и биссектриса ΔMOL. 3) Высоту цилиндра находим из ΔMKL: т. е. H = 3R. 4) Находим объем цилиндра. (Ответ: 3πR3.) Объем шара Задумывались ли вы над таким вопросом: как давно появились эти формулы, и кто первым открыл их? Еще до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы и цилиндра) были известны. Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евклида и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса, шара и других тел.В современных учебниках формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса и шара выводятся на основе интегральной формулы. Но этот простой и изящный способ появился благодаря трудам И. Ноготыса и Г. Лейбница гораздо позднее того как были открыты сами формулы. Изучим и мы доказательство формулы В практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе решения задач полезно использовать формулу: где D - диаметр шара. Задача 5. задача № 710 в) (краткое решение). Дано: шар, S = 64π Найти: R и V. Решение: Так как имеем Тогда (Ответ: R = 4 см, ) Задача 6.  задача № 712. Дано: Vшара = Vцил., Dшара = Dцил. Выразить Hцил. через R. Решение. (Ответ: Н = 4/3R.) Задача 7. Разобрать и записать в тетрадях вопрос № 9 к главе VII (стр. 161). (Ответ: ) Домашнее задание П. 71 № 710 а), б); 711; 713 1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см. 2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π. 3. В цилиндр вписан шар радиуса R = 1. Найдите отношение Vцил.: Vшара   22. Решение заданий подготовки к экзамену 23. Написание проверочных работ 24. Итоговая контрольная работа. 25. Работа над ошибками итоговой контрольной работы