Вопрос 2. Объём конуса

Площадь конуса. Объём конуса

План

1. Площадь боковой и полной поверхностей конуса

2. Объем конуса

3. Примеры

Вопрос 1. Площадь боковой и полной поверхности конуса

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.

. Если сектору S соответствует угол α, то .

Найдем угол α, чтобы подставить в полученную формулу. Составим пропорцию, связывающую угол и дугу, на которую он опирается.

. .

Подставим полученную дробь в формулу и найдем S. .

Зная формулу площади боковой поверхности, напишем формулу для нахождения S_полн.

;

Найдем теперь формулу площади боковой поверхности усеченного конуса, зная радиусы r, r₁ оснований и образующую усеченного конуса l. Площадь боковой поверхности усеченного конуса, это разность площадей большого конуса и маленького, образованного сечением.

Используя формулу нахождения площади боковой поверхности конуса, , запишем: .

Пусть PA₁=x, тогда:

Выразим отсюда x через радиус основания и образующую усеченного конуса. Рассмотрим прямоугольные треугольники РО₁А₁ и РОА. Так как они подобны, составим пропорцию:

Подставим x в формулу площади:

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площади боковой поверхности, площади нижнего основания и площади верхнего основания:

Вопрос 2. Объём конуса

Выведем формулу для вычисления объёма конуса. Для этого рассмотрим конус как фигуру, которая получается путём вращения прямоугольного треугольника OAB вокруг оси OX.

Точка O имеет координаты (0;0), B (H;0), A (H; R), где H – высота получившегося в результате вращения конуса, R – радиус основания конуса.

1. Прямая OA имеет общий вид , где k – угловой коэффициент равный тангенсу угла наклона (), следовательно, уравнение прямой OA:

Для того чтобы вывести формулу объёма конуса, воспользуемся основной формулой, позволяющей выразить объем тела через площади сечений этого тела (объём тела равен интегралу от площади параллельного сечения).

Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получается круг с радиусом y. Площадь круга равна:

Поэтому объём конуса равен:

Стоит отметить, что данная формула совпадает с формулой объёма пирамиды:

, где S – площадь основания.

Основанием конуса является круг, его площадь , поэтому объём конуса:

Вопрос 3. Примеры

Задача 1. Найдите объём усечённого конуса, у которого радиусы оснований r и R

(R>r), а высота h.

Решение. Дополним данный усечённый конус до полного.

Пусть x – его высота. Объём усечённого конуса равен разности объёмов двух полных конусов. Первый имеет радиус R₁ и высоту x, а второй радиус r и высоту x-h.

Из подобия конусов находим x: . Объём усечённого конуса равен:

Ответ: .

Задача 2.

Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь и объем конуса.

Решение. По формуле площадь полной поверхности конуса . Необходимо найти образующую конуса l. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей. Он прямоугольный, так как h – высота. Тогда по теореме Пифагора вычислим м. Тогда м². Объём конуса равен м³.