2020-06-08
156Векторы на плоскости
| Вектором называется отрезок, у которого указаны начало и конец (т.е. величина, которая характеризуется численным значением и направлением). | 
|
Координаты и длина вектора
Даны точки А(х1;у1) и В(х2; у2)
Координаты вектора
| 
|
Длина вектора  вычисляется по формуле:
| |
| Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе. | |
Действия над векторами
Если  , то
| 
|
Разложение вектора по координатным векторам
Если , то 
| 
|
Коллинеарные векторы
Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
Условие коллинеарности векторов в координатном представлении:
| 
 - сонаправленные векторы
 - противоположно направленные векторы
|
Равные векторы
 ,если: 
У равных векторов соответствующие координаты равны.
Противоположные векторы ( 
 противоположные векторы,если:
1) 
2) 
Соответствующие координаты противоположны.
|
|
Ортогональные векторы
Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов,  на плоскости:
| 
 - ортогональные векторы
|
Скалярное умножение векторов
Скалярным произведением двух векторов  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними:
Скалярное произведение векторов  выражается через координаты:
 
|  j=900 ® 
 00≤j<900 ® 
 900<j≤1800 ® 
|
| Применение скалярного произведения к решению задач
| |
Метод координат в пространстве
| Прямые x,y,z называются координатными осями (или осями координат), Оси координат обозначаются так: OX- ось абсцисс OY- ось ординат OZ- ось аппликат точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями. В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. М(x; y; z). |
Прямоугольная система координат в пространстве
|
| Действия над векторами: |
Сложение векторов
|
Вычитание векторов
|
Умножение вектора на число k.
|
Координаты середины отрезка AB:
А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).
Точка М середина отрезка AB.
|
Вычисление длины вектора  по его координатам:
|
Расстояние между двумя точками.
А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2).
|
Вычисление координат вектора  . Если А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).
|
Скалярное произведение векторов  и  выражается формулой:
|
Перпендикулярность векторов:   ;
|
Коллинеарность векторов: ;
 ,если координаты векторов не равны нулю.
|
Косинус угла между ненулевыми векторами векторов  и  вычисляется по формуле:
|
Задачи по теме «векторы в пространстве»
1. Даны координаты точек А(-3; 2; -1), В(2; -1;-3), С(1; -4; 3), Д(-1; 2; -2).
Найдите | 2АВ+3СД |
Решение:
(2+3; -1-2;-3+1)=(5;-3;-2)
(-1-1;2+4;-2-3)=(-2;6;-5).
2 +3 =(10+(-6);-6+18;-4-15)=(4;12;-19).
+3 
= 
= 
Ответ:
2. Даны координаты точек С(3; -2; 1), Д(-1; 2; 1), М(2; -3;3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами и 
.
Ответ:0,7
3. Вычислите угол между векторами 
(2; -2; 0) и 
(3; 0; -3).
Ответ:600
4. При каком значении n данные векторы перпендикулярны: (2; -1;3) и (1;3; n)?
Ответ: 
5. Вычислите координаты вектора 2 +3 + 
по координатам векторов: 
(3;1; 1), (-2;0;2)
Ответ:(1;1;8)
6. Вычислите значение k, при котором скалярное произведение векторов (2;k;-1) и
Ответ: 
7. Даны векторы: (-3;-1;2), (5;-2;7). Найдите координаты вектора: - +3 .
Ответ:(18;-5;-19)
8. При каких значениях x и у векторы а(х;-2;5) и b(1;у;-3) коллинеарные?
Ответ:x= 
= 
9. Вычислите длину вектора 2 + 3 , если (3; 1;0), (0;1;-1).
Ответ:
10. Даны две точки А(2;-1;3), В(1;0;4) и вектор (4;-2;-3). Найдите длину вектора 3 
+ 5
Ответ: 
11. Даны точки А(2;0;1), В(4;-1;3), С(1;1;2). Найдите косинус внутреннего угла при вершине В треугольника АВС.
Ответ: 
12. Найдите сумму всех значений m, при которых векторы а(m + 1; 1;-1;) и b(m; -m;-2m+3) перпендикулярны.
Ответ:-2
13. Найдите длину большей диагонали параллелограмма, построенного на векторах (3;-3;-2) и (1;2;-1).
Ответ: 
14. Найдите в градусах угол между векторами (1;1; 
) и осью Оz.
Ответ: 
15. Даны векторы (-1;1;1;) (0;2;-2). Найдите координаты вектора с =(2 +3 
)-( -2) +2( - ).
Ответ: (-3;9;-3)
16. Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарные: (15;m;1) и (18;12;n)
Ответ:m=10,n=1,2
17. Даны векторы =mi+3j+4k и =(4i+mj-7k). При каком значении векторы ортогональны?
Ответ:4
18. Даны векторы (-1;2;3) и (5;х;-1). При каком значении х выполняется условие аb=3?
Ответ:5,5
19. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-2;0;1), В(-1;2;3) и С(8;-4;9). Найдите координаты вектора ВМ, если ВМ медиана треугольника АВС.
Ответ: 
(4;-4;2)
20. Даны вершины треугольника: А(-1;-2;4), В(-4;-2;0) и С(3;-2;1). Найдите угол треугольника при вершине А.
Ответ: 
21. Вычислите + c+ c, если, +b+c=0 и | |=| |=|c|=1.
Ответ:-1,5
22. Вычислите длину вектора =2i+j-3k.
Ответ: 
23. Найдите косинус угла между векторами - и + , если (1;2;1) и (2;-1;0).
Ответ:cos 
24. Найдите скалярное произведение векторов и , если | |=1, | |=2, |a+b|=3.
Ответ:2
25. Найдите угол между векторами р=2 +3 и q=2 -3 , если =i-j+2kи =2i+2j
Ответ:cos = 
26. В параллелограмме АВСД заданы АВ(-4;-4;-2), СВ(-3;-6;1) и А(3;8;-5). Найдите сумму координат точки пересечения диагоналей.
Ответ:5
27. Длина вектора (х;у;z) равна 5. Найдите ординату вектора , если х=2, z=- 
Ответ: 
4
28. Даны три точки А(1;0;1), В(-1;1;2) и С(0;2;-1). Найдите точку Д(х;у;z), если векторы АВ и СД равны.
Ответ:Д(-2;3;0)
29. При каком значении (значениях) k векторы (6-k;k;2) и (-3;5+5k;-9) перпендикулярны?
Решение:
=0
-3(6-k)+k(5+5k)-18=0
-18+3k+5k+5k 
-18=0
5k +8k-36=0
(+)=-8
(*)=-180
k 
= 
=2 k 
=- 
Ответ:k =2, k = 
30. При каком значении а векторы АВ и СД коллинеарны, если А(-2;-1;2), В(4;-3;6),
С(-1;а-1;а), Д(-4;-1;а)?
Ответ:-1
31. Дано: | |=4, | |=1. 
. Найдите cosa, где а – угол между векторами 
- и
Ответ:cos 
32. Найдите длину вектора a+b+c, если |a|=1 |b|=2, |c|=3,. , 
.
Ответ: 
33. В параллелограмме АВСД заданы СД(-3;4;2), СИ(5;-2;4) и А(5;8;0). Найдите расстояние от точки С до начала координат.
Ответ: 
34. Точки А(14;-8;-1), В(7;3;-1), С(-6;4;-1), Д(1;-7;-1) являются вершинами ромба АВСД. Найдите острый угол ромба
Ответ: 
35. Дан треугольник с вершинами в точках А(3;-2;1), В(3;0;2), С(1;2;5). Найдите угол, образованный медианой ВД и основанием АС.
Ответ:
36. В правильном тетраэдре ДАВС с ребром а точка О – центр треугольника АВС. Найдите | 
+ 
- 
|.
Ответ: 
37. Даны три точки: А(1;0;10, В(-1;1;2), С(0;2;-1). Найдите на оси Оz такую точку Д(0;0;с), чтобы векторы 
и 
были перпендикулярны.
Ответ:1
38. В тетраэдре ДАВС ДА=ДВ=ДС, 
. Вычислите угол между векторами: а) и 
б) 
и 
.
Ответ:600 ; 1350
39. При каком значении а три точки А(2;а; 3), В(3;1;6), С(4;3;9) лежат на одной прямой?
Ответ:-1
40. Найдите длину интервала значений параметра а, при которых р(-1;2х;х ) и q(5;а;а) при любом х образуют тупой угол.
Ответ:5
41. Найдите длину вектора 
- 
- 
,если | |=2, | |=3,| |=4, угол между и равен 
, между и равен 
и между и равен 
.
Ответ: 
42. Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор образует с ними угол 
. Зная, что 
=3, 
=5, 
=8, вычислите скалярное произведение 
- 
+ 
.
Ответ:-62
43. Треугольная пирамида задана координатами своих вершин А(3;0;1), В(-1;4;1), С(5;2;3) и Д(0;-5;4). Вычислите длину вектора 
, если О – точка пересечения медиан треугольника ВСД.
Ответ: 
44. 
=2, 
=3, 
, )=120. Найдите cos 
, где - угол между векторами и + .
Ответ:cos 
45. Треугольник задан координатами своих вершин А(1;1;2), В(3;4;2) и С(5;6;4). Найдите величину внешнего угла треугольника при вершине В.
Ответ: 
46. В треугольнике АВС точки M и N – середины сторон АВ и ВС соответственно. Известно, что 
(3;-5;6), 
(-2;1;7). Найдите сумму координат вектора 
.
Ответ:8
47. Найдите сумму целых значений параметра b, при которых векторы 
(х 
;х; 16) и
(1;b;- 
) при всех значениях х образуют острый угол.
Ответ:-6
48. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A(1; 6; 3), B (3; − 1; 7) и C(− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов 
, 
и 
.
Ответ: 
; 
49. Вычислить скалярное произведение векторов 
и 
Ответ:12
50. Коллинеарны ли векторы?:
a) 
{-5;3;-1} и 
{-10; 6;-2};
b) 
{-6;3;-1} и 
{2; -9;3};
Ответ: a) да b) нет
51. Найти косинус угла между векторами 
= {4; 3; 0} и 
= {0; 12; 5}.
Ответ:36/65
