Задачи по комбинаторике для всей семьи

 

Уважаемые родители, предлагаю Вам снова поиграть и решить интересные задачи по комбинаторике. Немного теории для повторения.

Есть два разных способа решения этих задач.

* Один – детский – перебор всех возможных вариантов.

* Второй – взрослый – состоит в придумывании такого порядка перебора, что перечислять все комбинации уже не нужно: они распадаются на группы, число возможных комбинаций в каждой группе легко сосчитать. Пример: сколькими способами можно раздать десяти детям десять разных фруктов? Не станете же Вы перебирать все варианты...

Однако до взрослого способа нужно еще дорасти. Для начала перебрать десяток вариантов в любом порядке, ничего не забыв и не повторяясь - уже достаточно сложная задача. Причем ее решение от умения считать не зависит.

Первое время нужно брать совсем маленькие числа, чтобы число вариантов было не больше 5-6, и обязательно давать в руки "счетный материал": годятся любые предметы, главное – чтобы их хватило для раскладывания всех комбинаций. Можно строить все возможные двухэтажные дома из разноцветных кубиков, можно собирать пары из разноцветных шариков, лоскутков или карандашей, можно выкладывать все возможные последовательности заданной длины из ложек и вилок или рублевых монеток...

Потом можно переходить от раскладывания цепочек к их рисованию. И только потом, когда дети будут уверенно находить все варианты и начнут сами их упорядочивать (сначала - все случаи с синим кружочком...) – можно предложить им "угадывать" ответ, не перечисляя все случаи. И то, скорее всего, Вы встретите ожесточенное сопротивление: легче нарисовать 30 поездов с цветными вагончиками, чем придумать одну идею.

Я Вам предлагаю задачи, не упорядоченные по сложности. Пока не найден общий принцип решения каждого типа задач, их сложность регулируется небольшим изменением количества цветов или длины составляемых комбинаций. Не берите много - количества вариантов очень быстро растут.

С чего начать? Задачи для детей:

Задача 1. У нас есть 3 фломастера. Рисуем цветочки: серединка одного цвета, лепестки другого. Нужно нарисовать как можно больше разных цветков.

Задача 2. У Пети есть кубики трех цветов. Сколько разных трехэтажных домиков он сможет из них составить? А сколько из них трехцветных?

Задача 3. На столе лежит горстка спичек, кучка одинаковых монеток и кучка шурупов (или, например, одинаковых пластилиновых шариков). Разложить эти предметы в ряды по 3 штуки так, чтобы ряды не повторялись. Сколько рядов можно сделать?

Серия задач про поезда

Задача 4. В депо есть вагоны двух разных цветов. Из них составляют поезда длиной в 5 вагонов, которые прицепляют к паровозу. Сколько разных поездов можно составить из одного белого и четырех синих вагонов? А из двух белых и трех синих?

У этой задачи огромное множество вариантов различной сложности. Можно менять количество вагонов и цветов; если цветов больше двух, то можно делать трехцветные поезда, например:

Задача 5. Сколько поездов можно составить из одного белого, одного желтого и трех синих вагонов? (Чем эта ситуация отличается от двух белых и трех синих?) А из одного белого, двух желтых и двух синих вагонов?

С этими же вагонами есть еще и такая задача – для маленьких она сложнее, а для детей постарше, возможно, даже проще предыдущих:

Задача 6. Сколько всего разных поездов можно составить из белых и синих вагонов? А если есть еще желтые вагоны?

Заметим, что задача решается на самом деле ("по-взрослому") совсем не так, как предыдущие. Поэтому на этапе перехода от перебора к аналитическому решению ее стоит задавать отдельно.

А можно составлять полностью разноцветные поезда:

Задача 7. К празднику в депо завезли краску 5-ти разных цветов, и начальник депо решил составлять проезда, в которых все вагоны разных цветов. Сколько разных поездов он сможет составить? А сколько всего разных трехцветных поездов, если в депо есть вагоны пяти разных цветов?

*** Вместо вагонов и поездов могут быть лампочки в гирлянде, кирпичики от конструктора и построенные из них дома, пуговицы разных размеров и т.д.

Задача для Вас уважаемые родители:

Задача 8. Шахматный король идет по клетчатому полю из клетки A1 на клетку B5. (Он может ходить вперед-назад, направо- налево и по диагонали). Сколько у него способов пройти за наименьшее число шагов? (т.е. сколько кратчайших путей?) А если он не будет ходить по диагонали?

Усложнение задачи: нужно попасть на C 5.

Задача 9. (Уровень 3) А сколько у этого короля вообще способов попасть (не обязательно коротким путем) из A1 в B5, если он не может возвращаться в клетку, в которой уже побывал? (т.е. его путь не должен содержать замкнутых петель). Это достаточно сложная задача, даже если запретить ходить по диагонали.

Задачи для всей семьи:

Задача 10. Сколько всего двузначных чисел? Трехзначных? Двузначных с разными цифрами? Двузначных, у которых первая цифра больше второй? Трехзначных, у которых самая большая цифра – последняя?

Задача 11. Гном спрятал под горой свои сокровища. Известно, что у него были алмазы, топазы и изумруды, а в каждый клад он прятал по 7 камней, и все клады разные. Сколько всего под горой может быть кладов?

Задача 12. Король распорядился, чтобы на следующем балу все пары были одеты по-разному. При дворе разрешены только однотонные платья и фраки 5-ти цветов. Сколько пар прибудет на бал? (Король согласен, что дама в желтом, кавалер в красном и кавалер в желтом, дама в красном – это две разных пары.)

Задача 13. А на следующий бал король еще и запретил одноцветные пары (дама и кавалер в одежде одинакового цвета), сочтя их слишком скучными. Сколько цветов нужно разрешить, чтобы на бал смогли прийти 200 человек?

Задача 14. (По мотивам задачи из Олимпиады 2x2) Выкладываем числа доминошками: например, из двух доминошек складывается четырехзначное число - см. рис. 1. Какое самое большое число можно выложить, используя один стандартный комплект домино? Сколько разных четырехзначных чисел можно выложить, используя не более одного стандартного комплекта домино для каждого числа? А шестизначных?

 

Рис. 1: Как из костяшек домино сложить число.