Интеграл и его приложения

Мая Подготовка к контрольной работе по математике Сдать 14 мая

Студенты! 15 мая единовременно пишем итоговую контрольную работу. Начало в 11⁰⁰ часов, окончание в 11 ⁴⁵. Материалы будут расположены на ДИСКе. Ответы в виде фотографий присылаете на мой адрес электронной почты: melentevala@live.ru    до 12²⁰.

 

Сегодня решим задания, похожие на те, которые вам будут предложены.

Что не понятно, письменно можно спросить. Адрес почты указан.

 

Как готовиться?

1.Откройте конспекты, посмотрите темы, которые мы записывали.

2.Попробуйте решить задания.

3. Проверьте ответы.

 

 Тема «Теория пределов»

1. Вычислите предел функции:

а) lim (4x³-8x+1);                                  б)  ;

^xà5

 

в) lim ;          г)* lim .

      ^{xà0                                                   xà∞}  

2. Вычислите первый и второй замечательные пределы:

 

а) lim ;     в)  ;

              ^xà0                                           

б) lim(1+ )^10x;  г) .

                       ^xà∞

Производная, ее приложения.

3.Найдите производные функции:

а) у = 4^{x .} х⁵ ;       б) y = 2sin(7x+2)+8;     в)* Найдите вторую производную функции y  = sin(6x-3).

 

4.Найдите точки экстремума функции у = 2x³ +4, 

 а) выясните выпуклая или вогнутая линия в точке с абсциссой

х₀= -1.

 

5. Найдите дифференциал функции: а) у = cosx +3;  

б)* у= ln (3x-7).

 

 

Интеграл и его приложения.

6.Найдите неопределенный интеграл функций:

а) ;   б)* dx

 

7. Найдите определенный интеграл функций:

а) .

 

8.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:  у =  ,  a =1,  b =2 и у=0.

 

Ответы:

1.а) lim (4x³-8x+1);             б)  ;

^xà5

а) Просто подставляем число вместо х Ответ: 461.

б) Ответ: 930.                              

 

в) lim ;         г)* lim

      ^{xà0                                                   xà∞}  

в) Неопределенность , раскладываем на множители числитель и знаменатель.

Ответ: .

г)Неопределенность , делим числитель и знаменатель на х с наибольшим показателем. Ответ: .

2. Вычислите первый и второй замечательные пределы:

 

а) lim ;         

              ^xà0

а) Домножаем числитель и знаменатель на 3: =

 

=  , когда числовой множитель  вынесем за знак предела, останется замечательный предел. Ответ: .

б) lim(1+ )^10x; Ответ: е¹⁰      

                       ^xà∞

в) Ответ:

 

     г)     Ответ: е⁴

Помним, что неизвестное в скобках и показатель должны быть взаимно обратными выражениями.

 

3.Найдите производные функции:

а) у = 4^{x .} х⁵ ; Производная произведения. Повторите формулу. 

 Ответ:  у'= 4^xln4 ^. х⁵ + 4^{x .} 5х⁴ = 4^{x .} х⁴ (xlnx+5)

 

б) y = 2sin(7x+2)+8; Сложная функция.   Ответ: y' = 14cos(7x+2).

 

4.Найдите точки экстремума функции у = 2x³ +4, 

 а) выясните выпуклая или вогнутая линия в точке с абсциссой

х₀= -1.

Решение: Найдем производную у'=6х²

Найдем нули производной функции: х= 0.

Решим неравенство:  6х²>0 Неравенство выполняется при любом значении х. Значит, точек экстремума нет.

а) у(-1) =2 2>0, значит, функция, вогнутая в точке х=-1.

 

5. Найдите дифференциал функции: а) у = cosx +3;

Решение: мы знаем, что дифференциал главная часть приращения функции и равна производной функции, значит

Ответ:   dy= -sinxdx

 

6.Найдите неопределенный интеграл функций:

а) ;       

 

Ответ: х³+3х² -3х +с

 

7. Найдите определенный интеграл функций:

а) . Ответ: 16

 

8.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:  у =  ,  a =1,  b =2.

Ответ: 1

 

В контрольной работе надо решить на «3» любые пять примеров