Образцы решения задач

Тема: Практическое занятие «Решение практических задач на определение вероятности события»

Задание: Повторить теоретический материал и выполнить практическую работу

Теоретические сведения:

1. Понятие о случайном событии.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них.

События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, Д, …

2.     Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов т.е. Р(А) =

Теорема сложения вероятностей

Суммой случайных событий А и В называется событие А+В, состоящее как из исходов, благоприятствующих событию А, так и из исходов, благоприятствующих событию В. (Исходы, благоприятствующие событиям А и В одновременно, считаются только один раз.)

Если случайные события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема умножения вероятност ей

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно

Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B).

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли 

P_n(m) = Cⁿ_k·p^m·q^n-m, где q = 1-p.

Образцы решения задач

Задача 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

Решение. Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-p=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем 

P₄(2) = C⁴₂·p²·q²=(12/2)·(2/3)²·(1/3)² = 8/27

Задача 2. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет два раза?

Решение. При одном броске вероятность выпадения тройки равна р = 1/6, а вероятность не выпадения равна 1-р = 5/6.

Каждый бросок - независимое испытание. Применим ф-лу Бернулли. 

Р_n(m)=С_n^m p^m(1-p)^n-m, где n=10, m=2

Р= С₁₀² ·(1/6)²·(5/6)⁸= 10!/ (8!*2!)* 5⁸/6¹⁰ = 45*5⁸/6¹⁰ ≈0,29

 

Задача 3.
Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?
Решение. Здесь p=0,4, q=0,6. Имеем:

P₁₀(0) = q¹⁰, P₁₀(1) = 10pq⁹, P₁₀(2) = 45p²q⁸, P₁₀(3) = 120p³q⁷.

Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, равна

Р = P₁₀(0) + P₁₀(1) + P₁₀(2) + P₁₀(3) = q¹⁰+10pq⁹+45p²q⁸+120p³q⁷≈ 0,38.

Решить задачи:

Задача 1. В урне 30 белых и 20 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два чёрных?

Задача 2. Игральную кость бросили 14 раз. Какова вероятность, что число 5 выпадет два раза?

Задача 3. Вероятность появления события А равна 0,6. Какова вероятность того, что при 8 испытаниях событие А появится не более трех раз?

 

Ссылка на сообщество МАТЕМАТИКА в контакте https://vk.com/club194177059