Задание 18 (для самостоятельного решения)

Задание 18

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Запишем уравнение в виде

и сделаем замены и Тогда уравнение примет вид

(*)

Заметим, что Значит, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение, если уравнение (*) имеет хотя бы одно решение на отрезке

Построим график уравнения (*) на отрезке в системе координат tOb (см. рис. выше). Уравнение (*) имеет корни на отрезке при Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при

Решим это двойное неравенство:

Задание 18

При каких значениях параметра a уравнение

имеет ровно 2 различных решения.

Решение.

В системе координат хOa изобразим ломаную, задаваемую уравнением все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу точки которой соответствуют нулям знаменателя.

Подставим второе уравнение в первое и решим полученное уравнение на x. Тем самым, найдем точки пересечения ломаной и параболы: и

Итак, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда

Ответ:

Задание 18 №

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три различных решения.

Решение.

Запишем уравнение в виде и рассмотрим графики функций и График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а.

Уравнение будет иметь три различных решения, если вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1), или если одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).

В первом случае и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6.

Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Уравнение должно иметь единственное решение.

Приведём уравнение к стандартному виду:

Из равенства нулю дискриминанта получаем

откуда

Если параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение

Оно имеет единственное решение, только если

Ответ: 3,5; 4; 4,5.

Задание 18

Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Решение.

Пусть тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:

Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции имеет с горизонтальными прямыми и ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если

При уравнение не имеет решений. Если то при а если то при имеем:

При неограниченном увеличении значения функции стремятся к нулю, причём, для функция f является возрастающей, а при — убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.