2020-07-12
105Тема:
«Решение систем тригонометрических уравнений»
Четкой классификации систем тригонометрических уравнений не существует. Поэтому условно разобьем их на группы и рассмотрим способы решения этих задач.
К ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.
Пример 1
Решим систему уравнений 
Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную 
и подставим во второе уравнение: 
Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение 
или 
Введем новую переменную t = sin у. Имеем квадратное уравнение 3t2 - 7t + 2 = 0, корни которого t1 = 1/3 и t2 = 2 (не подходит, так как sin у ≤ 1). Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение sin y = 1/3, решение которого 
Теперь легко найти неизвестную: 
Итак, система уравнений имеет решения 
где n ∈ Z.
Пример 2
Решим систему уравнений 
Уравнения системы независимы. Поэтому можно записать решения каждого уравнения. Получим: 
Почленно сложим и вычтем уравнения этой системы линейных уравнений и найдем: 
откуда 
Обратим внимание на то, что в силу независимости уравнений при нахождении х - у и х + у должны быть указаны разные целые числа n и k. Если бы вместо k было также поставлено n, то решения имели бы вид: 
При этом было бы потеряно бесконечное множество решений и, кроме того, возникла бы связь между переменными xи у: х = 3у (чего нет на самом деле). Например, легко проверить, что данная система имеет решение х = 5π и у = п (в соответствии с полученными формулами), которое при k= n найти невозможно. Поэтому будьте внимательнее.
2. Системы вида 
Такие системы приводятся к простейшим при сложении и вычитании уравнений. При этом получим системы 
или 
Отметим очевидное ограничение: 
и 
Само же решение подобных систем сложностей не представляет.
Пример 3
Решим систему уравнений 
Преобразуем сначала второе уравнение системы, используя равенство 
Получим: 
Подставим в числитель этой дроби первое уравнение: 
и выразим 
Теперь имеем систему уравнений 
Сложим и вычтем эти уравнения. Имеем: 
или 
Запишем решения этой простейшей системы: 
Складывая и вычитая эти линейные уравнения, находим: 
3. Системы вида 
Такие системы можно рассматривать как простейшие и решать их соответствующим образом. Однако есть и другой способ решения: преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение и использовать оставшееся уравнение.
Пример 4
Решим систему уравнений 
Сначала преобразуем первое уравнение, используя формулу для суммы синусов углов. Получим: 
Используя второе уравнение, имеем: 
откуда 
Выпишем решения этого уравнения: 
С учетом второго уравнения данной системы получаем систему линейных уравнений 
Из этой системы находим 
Такие решения удобно записать в более рациональном виде. Для верхних знаков имеем: 
для нижних знаков - 
Пример 5
Решим систему уравнений 
Запишем систему в виде 
Возведем в квадрат каждое уравнение системы и получим: 
Сложим уравнения этой системы: 
или 
Используя основное тригонометрическое тождество, запишем уравнение в виде 
или 
Решения этого уравнения cos x = 1/2 (тогда 
) и cos x = 1/4 (откуда 
), где n, k ∈ Z. Учитывая связь между неизвестными cos y = 1 – 3 cos x, получим: для cos x = 1/2 cos y = -1/2; дляcos x = 1/4 cos y = 1/4. Необходимо помнить, что при решении системы уравнений проводилось возведение в квадрат и эта операция могла привести к появлению посторонних корней. Поэтому надо учесть первое уравнение данной системы, из которого следует, что величины sin x и sin у должны быть одного знака.
С учетом этого получим решения данной системы уравнений 
и 
где n, m, k, l ∈ Z. При этом для неизвестных х и у одновременно выбирают или верхние, или нижние знаки.
В частном случае 
система может быть решена преобразованием суммы (или разности) тригонометрических функций в произведение и последующим почленным делением уравнений друг на друга.
Пример 6
Решим систему уравнений 
В каждом уравнении преобразуем сумму и разность функций в произведение и разделим каждое уравнение на 2. Получим: 
Так как ни один множитель в левых частях уравнений не равен нулю, то почленно разделим уравнения друг на друга (например, второе на первое). Получим: 
откуда 
Подставим найденное значение 
например, в первое уравнение: 
Учтем, что 
Тогда 
откуда 
Получили систему линейных уравнений 
Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем 
и 
где n,k ∈ Z.
5. Системы, решаемые с помощью замены неизвестных
Если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.
Задание:
1. Разобрать примеры
2. Решить самостоятельно
Примечание: выполненные задания отправить в виде фото тетради до 18.06.2020. Выполненное задание должно содержать Фамилию Имя студента, выполнившего работу и дату занятия.
