Теоремы о пределах последовательностей, связанные с арифметическими действиями

Числовые последовательности. Предел последовательности

Определение 1. Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция , определённая на множестве всех натуральных чисел . Её обозначают или где .

Число называется n –м (общим) членом последовательности, а число n – номером члена .

Пример 1. 1) .

Тогда и т.д.

Последовательность имеет вид: .

2) .

Тогда , , , и т.д.

Последовательность имеет вид: 0; 1; 0; 1; 0; 1; .

Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.

Определение 2. Пусть задана числовая последовательность . Число a называется пределом этой последовательности, если для каждого заданного числа найдётся такое натуральное число N, что для любого номера выполняется неравенство .

В этом случае пишут .

Иначе, .

Определение 3. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение 4. Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.

Определение 5. Последовательность называется бесконечно большой, если .

Теорема. Если последовательность , где , бесконечно большая, то последовательность бесконечно малая. Верно обратное утверждение: если последовательность бесконечно малая, то последовательность бесконечно большая.

Теоремы о пределах последовательностей, связанные с арифметическими действиями

Теорема 1 (о пределе суммы). Если последовательности и сходятся, то их сумма тоже сходится и предел суммы равен сумме пределов:

Теорема 2 (о пределе произведения). Если последовательности и сходятся, то их произведение сходится и предел произведения равен произведению пределов:

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2. Если последовательности и сходятся, то их разность тоже сходится и предел разности равен разности пределов:

Теорема 3 (о пределе частного). Если последовательности и сходятся, причём и , то их частное тоже сходится и предел частного равен частному пределов: