Решение (несколько способов)

Решение

Вспомним, что деление, по определению, операция, обратная умножению (деление на какое-либо число – это то же самое, что и умножение на обратное к этому числу):

Разделим обе части уравнения на или умножим на :

Упростим выражение в левой части уравнения:

Упростим выражение в правой части уравнения:

Таким образом, решением уравнения будет:

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Упростим уравнение – выполним действия в обеих частях уравнения: .

Разделим обе части уравнения на :

Решением уравнения является .

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение

Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения. Для выражения в левой части уравнения используем распределительный закон: .

Тогда . Вспомним, что если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок все знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположный: .

Перепишем уравнение после применения преобразований: .

Как и в предыдущем примере, перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим тождество: .

Таким образом, данное равенство верно всегда, при любых значениях переменной.

Ответ: – любое число.

Пример 4. Решить уравнение: .

Решение

Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения, используя распределительный закон .

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Получаем .

Данное равенство неверно всегда, т.е. оно не выполняется ни при каких значениях переменной.

Ответ: нет решений.

Пример 5. Решить уравнение: .

Решение

Избавимся от знаменателей дробей – умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, т.е. число :

Получим: .

Выполним сокращения и избавимся от знаменателей: .

Раскроем скобки:

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим следующее уравнение: .

Найдем :

Ответ: .

Системы линейных уравнений

В общем виде системы линейных уравнений выглядят следующим образом: где – переменные, – произвольные числа.

Есть несколько методов решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.

2. Метод сложения.

3. Графический метод.

Решение систем линейных уравнений

Пример 6. Решить систему: .

Решение (несколько способов)

1. Метод подстановки – необходимо в уравнении выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.

Из первого уравнения выразим , для этого перенесем из левой части уравнения в правую: .

Затем умножим обе части первого уравнения на : .

Теперь подставим во второе уравнение полученное выражение: .

Теперь во втором уравнении только одна переменная , решим его (мы уже умеем это делать – получилось обычное линейное уравнение с одной переменной).

Раскроем скобки во втором уравнении: .

Во втором уравнении перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую: .

Выполним действия в обеих частях второго уравнения: .

Найдем : .

Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:

Решением системы будет: .

Ответ: .

2. Метод сложения – нужно преобразовать уравнения так, чтобы при одной переменной в разных уравнениях были противоположные коэффициенты, после этого нужно сложить правые и левые части уравнений.

Избавимся от переменной . Умножим первое уравнение на : .

Теперь система имеет вид: .

Сложим уравнения системы: .

Получим следующее уравнение: . Выполним действия: .

Найдем :

Подставим найденное значение в любое из уравнений исходной системы, например, в первое: .

Выразим : . Решением системы будет: .

Ответ: .

3. Графический метод

Сначала перепишем каждое из уравнений так, чтобы они задавали линейную функцию в привычном для нас виде , т.е. выразим через :

Графиком линейной функции является прямая. Построим обе прямые по двум точкам. Вместо возьмем произвольные значения и подставим их в соответствующие уравнения прямых:

Отметим точки на координатной плоскости и проведем через них прямые (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 6

Видно, что точкой пересечения прямых является точка с координатами . Поскольку точка лежит на каждой из прямых, а прямая – это множество решений уравнения, то точка пересечения прямых является решением каждого из уравнений, т.е. является решением системы. Координаты точки пересечения и будут решением системы.

Дополнительно нужно подставить координаты точки в исходную систему, чтобы убедиться в правильности: .

Ответ: .

Пример 7. Решить систему: .

Решение

Сначала упростим уравнения системы – избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим каждое уравнение на общий знаменатель дробей, которые в него входят (чтобы найти это число, нужно рассмотреть наименьшее общее кратное чисел, которые стоят в знаменателе):

Получим:

Выполним сокращения и избавимся от знаменателей:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые:

Умножим второе уравнение на :

Сложим уравнения системы:

Получим уравнение:

Выполним действия:

Найдем :

Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:

Решением системы будет: .

Ответ: .

Задачи, решение которых сводятся к линейным уравнениям и их системам

Задача 1

Провод длиной 456 метров разрезали на 3 части (Рис. 2), причем первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая – на 114 метров длиннее третьей. Найти длину каждой части провода.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение

1. Провод длиной 456 метров разрезали на 3 части:

Первая часть в 4 раза длиннее третьей:

Вторая часть на 114 метров длиннее третьей:

Теперь все выражено через часть 3, поэтому все замены можно переписать так:

2. Обозначим длину части 3 за :

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:

Выполним действия:

Найдем – длину части :

3. Найдем длину части :

Часть :

Ответ: 228 метров; 171 метров; 57 метров.

Задача 2

Из села в город легковой автомобиль доехал за 2 ч, а грузовой – за 5 ч (Рис. 3). Найти скорость движения каждого автомобиля, если скорость грузового автомобиля на 48 км/ч меньше скорости легкового.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Введем обозначения:

1. Легковой автомобиль: – его скорость, – время, – путь, который он проходит.

2. Грузовой автомобиль: –скорость, – время, – путь, который он проходит.

Перепишем условие задачи в новых обозначениях:

– автомобили проехали одно и то же расстояние

Воспользуемся следующей формулой: . Тогда:

Так как , то . Используем оставшееся условие и получим следующую систему: .

Такую систему будем решать методом подстановки – подставим первое уравнение во второе: .

Раскроем скобки: .

Перенесем все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без переменной – в другую: .

Найдем :

Таким образом, скорость легкового автомобиля: км/ч.

Найдем скорость грузового автомобиля: подставим найденное значение в уравнение :

км/ч

Ответ: 80 км/ч; 32 км/ч.

Задача 3

Токарь планировал изготавливать ежедневно по 24 детали, чтобы выполнить задание вовремя. Но он изготавливал ежедневно на 15 деталей больше (Рис. 4) и уже за 6 дней до окончания срока работы сделал 21 деталь сверх плана. За сколько дней токарь планировал выполнить задание?

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Введем обозначения:

1. Токарь планировал: сделать работу со скоростью за время .

2. Получилось: сделал работу со скоростью за время .

Перепишем условие задачи в новых обозначениях:

деталь/день

Воспользуемся формулой:

Тогда:

Если , то .

Подставим в предыдущее уравнение: .

Раскроем скобки: .

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую: .

Выполним действия: .

Найдем :

Ответ: 17 дней.

Задачи. Системы линейных уравнений

Задача 4

Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км (Рис. 5). Найти скорость лодки по течению и ее скорость против течения, если за 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как и за 5 ч по течению.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Введем обозначения:

1. Скорость лодки по течению: .

2. Скорость лодки против течения: .

Воспользуется формулой: .

Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км, тогда .

За 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как и за 5 ч по течению: .

Запишем полученную систему линейных уравнений: .

Воспользуется методом подстановки. Во втором уравнении выразим через – разделим обе части уравнения на : .

Подставим полученное значение в первое уравнение: .

Выполним действие: .

Найдем : .

Ответ: км/ч; км/ч.

Задача 5

В двух ящиках лежат яблоки. Если из первого ящика переложить во второй 45 яблок, то в обоих ящиках их станет поровну (Рис. 6). Если же из второго ящика переложить в первый 20 яблок, то в первом станет в 3 раза больше яблок, чем во втором (Рис. 7). Сколько яблок лежит в каждом ящике?

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 5

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 5

Решение

Пусть изначально в первом ящике было яблок, а во втором – яблок. Если из первого ящика переложить во второй 45 яблок, то в обоих ящиках их станет поровну:

Если же из второго ящика переложить в первый яблок, то в первом станет в раза больше яблок, чем во втором: . Запишем полученную систему линейных уравнений: .

Раскроем скобки во втором уравнении: .

В обоих уравнениях выразим через : .

Воспользуемся методом подстановки – подставим выражение во второе уравнение: .

Во втором уравнении перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую: .

Найдем – количество яблок во втором ящике: . Подставим найденное значение в первое уравнение и найдем – количество яблок в первом ящике:

Ответ: .

Задача 6

Один металлический сплав содержит меди, другой – меди (Рис. 8). Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить 120 кг сплава, содержащего меди (Рис. 9)?