Способы решения систем уравнения

1.Способ подстановки.

2. Способ сложения.

3. Графический способ.

Самым распространённым способом решения систем уравнений является

способ подстановки. При решении систем уравнений способом подстановки поступают следующим образом:

1) выразить из более простого уравнения одну переменную через другую; 2) подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной неизвестной; 3) решить полученное уравнение с одной переменной; 4) найти соответствующие значения второй неизвестной.

Пример1: Решить систему уравнений методом подстановки:

Выразим из второго уравнения у через х у=х+4 и подставим в первое уравнение.

х²+ (х+4)²=16,

х²+ х ²+ 8х + 16 – 16 =0,

2 х ² +8х= 0,

х=0 или х= - 4

у = 4 или у = 0

Ответ: (0;4), (-4;0)

2. Следующий способ решения систем – способ алгебраического сложения.

При решении систем уравнений этим способом поступают следующим образом:

1) при необходимости умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) Складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

3) Решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) Находят соответствующее значение второй переменной;

5) Записывают ответ парой чисел (х;у).

Пример 2: Решить систему уравнений методом сложения:

Сложим почленно уравнения

х² + у² = 61,

х² - у² = 11,

__________

2х² = 726² + у² = 61

х² = 72: 2у² = 61 - 36

х² = 36у² = 25

х₁ = 6у₁ = 5

х₂ = - 6у₂ = - 5

Ответ: (6; 5); (- 6;-5)

Решение системы уравнений с двумя переменными графическим способом сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений. Чтобы решить систему уравнений графически, надо:

1) Проанализировать каждое уравнение системы, как формулу, которой задана функция;

2) В одной системе координат построить график каждого уравнения;

3) Координаты точек пересечения графиков и будут являться решениями системы уравнений.

Пример 3. Решить графическим способом систему уравнений:

Надо помнить, что если система содержит два линейных уравнения, графики – прямые, а прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно, система линейных уравнений с двумя переменными может:

1) Иметь единственное решение, если коэффициенты при х в каждом уравнении различны;

2) Не иметь решений, если коэффициенты при х одинаковы в каждом уравнении;

3) Иметь бесконечное множество решений если, выразив в каждом уравнении у через х, получаются одинаковые уравнения.

У графического способа решения уравнений есть один существенный недостаток – он не даёт точного ответа в большинстве случаев.

Некоторые системы уравнений имеют громоздкий вид, а в обоих уравнениях встречаются одинаковые дроби или скобки с одинаковыми выражениями. Для упрощения решения таких систем уравнений используют введение одной новой переменной или двух. Получается система уравнений, более простая, чем первоначальная, которую далее решают способами или подстановки, или сложения.

ДОМА! Выполнить самостоятельно!!!

Решить систему способом подстановки: