Урок Практическая работа «Решение комбинаторных задач»

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

Цели: Освоить комбинаторные комбинации, формирование навыков в решении комбинаторных задач на перебор вариантов: простым перебором, составлением «дерева возможных вариантов», с помощью таблицы.

Задача 1.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

ОТВЕТ: 25 вариантов.

 (Задача 2.
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.

Ответ:
Вариант1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Вариант2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Вариант3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Вариант4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
Вариант5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Вариант6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.

ОТВЕТ: 24варианта

Задача 3.
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?

Ответ:
1) Таня – Петя, 2) Таня – Коля, 3) Таня – Витя, 4) Таня – Олег, 5) Оля – Петя, 6) Оля – Коля, 7) Оля – Витя, 8) Оля – Олег, 9) Наташа – Петя, 10) Наташа – Коля, 11) Наташа – Витя, 12) Наташа – Олег, 13) Света – Петя, 14) Света – Коля, 15) Света – Витя, 16) Света – Олег.

Ответ:16 пар

 

1. Дерево возможных вариантов

Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода - дерево возможных вариантов.

Задача 4.
Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой цифрой в числе.

Ответ: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Ответ:18 чисел.

Задача 5.
Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе - А, на байдарках - Б, велосипедах - В, пешком - Х, на канатной дороге - К.

Ответ: На рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.

Задача 6.
Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком.

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М - математика, Р - русский язык, И - история, А - английский язык, Ф - физкультура.

Ответ: Всего 24 возможных варианта:

Р М И А Ф

Р М И Ф А

Р М А И Ф

Р М А Ф И

Р М Ф И А

Р М Ф А И

И М Р А Ф

И М Р Ф А

И М А Р Ф

И М А Ф Р

И М Ф Р А

И М Ф А Р

А М Р И Ф

А М Р Ф И

А М И Р Ф

А М И Ф Р

А М Ф Р И

А М Ф И Р

Ф М Р И А

Ф М Р А И

Ф М И Р А

Ф М И А Р

Ф М А Р И

Ф М А И Р

Задача 7.
Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.
а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б - брюки, Д - джинсы, С - серая рубашка, Г - голубая рубашка, З - зеленая рубашка, Р - рубашка в клетку, Т - туфли, К - кроссовки.

Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.

3.Составление таблиц

Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.

Задача 8.
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - первые цифры искомых чисел, вверху первая строка - вторые цифры.

Ответ: 28.

Задача 9.
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - имена девочек, вверху первая строка - имена мальчиков.

Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.

Задача 10

На пяти перекрестках горит 5 светофоров.Горит только 1 свет. Сколькими способами это можно сделать? Светофоры работают независимо друг от друга.

Решение:

Каждый светофор можно зажечь тремя способами, всего их пять:

Задача 11

 Сколькими способами Дима сможет покрасить пять елок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую елку он красит только в один цвет?

Решение

а) Каждую из пяти елок можно покрасить в один из трех цветов, поэтому всего различных способов существует 3·3·3·3·3 = 3⁵.

Задача 12

 У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?

 

Решение:

На первую елку можно надеть любой из пяти шариков, на вторую елку – любой из оставшихся четырех, и так далее; всего получаем
5·4·3·2·1 = 120 способов.

Задача 14

в) А если можно надевать несколько шариков на одну елку (и все шарики должны быть использованы)?

Решение:
в) Каждый из шариков можно надеть на любую елку, поэтому в этом случае ответ – 5⁵.

Задача 15

 

Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

 

Ответ

2³ = 8 последовательностей.