Ответ: Да, можно. Решение: 16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8

ТУР

1.1. Какое наименьшее количество точек можно отметить на поверхности куба, чтобы количество точек на любых двух гранях куба различалось? (Поверхность куба состоит из 6 граней, каждое ребро принадлежит двум граням, а каждая вершина - трем). Ответ: 6 точек. 0, 1, 2, 3, 4, 5. см. рис.4

рис.4

 

1.2. На координатной плоскости изображен график функции у = ах2 + с (см. рис.1). В каких точках график функции у = сх + а пересекает оси координат? В ответе указать значения чисел с и  а, а также координаты точек. Ответ: а = -1, с = 2, у = 2х - 1. (0; -1), (0,5; 0). Решение: см. рис.1; 5   1.3. Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей. Ответ:

Рис. 1 Из рис. 1 определяем а и с. с = 2, .

Тогда уравнение прямой имеет вид: .   Рис. 5

ТУР

2.1. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВД и СЕ. Найдите угол , если ВС = =2ВЕ. В ответе должен содержаться чертеж и значение угла . Ответ: . Решение: см. рис.6. Из  : т.к. ВС = 2ВЕ, то , тогда . Для прямоугольного  также . Таким образом, в окружности, описывающей  и ,  и  опираются на одну и ту же дугу. следовательно .		Рис. 6
2.2. В футбольном турнире участвовали 5 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одному разу (выигрыш - 3 очка, ничья - 1 очко, проигрыш - 0 очков). Все участники, кроме победителя, набрали очков поровну. Какой наибольший	Рис. 7

и наименьший возможный отрыв команды победителя? В ответе укажите числа и турнирные таблицы.

Ответ: наиб. = 12 - 3 = 8, наим.= 6 - 5 =1. см. рис.7.

2.3. Найдите такое наименьшее натуральное число n,  чтобы 2n являлось квадратом натурального числа, а 3n - кубом.

Ответ: 72. Решение: .

ТУР

3.1. В треугольнике АВС медиана, проведенная из вершины А к стороне ВС, в четыре раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 60о. Найдите угол ВАС. В ответе указать значение угла и сделать чертеж.

Рис. 8

Ответ: 150^о.  Решение: см. рис.8. Если , то , , , тогда  - равносторонний, , тогда ,  - равнобедренный, , . Т.к.  - средняя линия, то .

3.2. На координатной плоскости задан график функции у = kх + b (см. рис.1). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции у = kх2 + bх. Найдите абсциссы точек пересечения двух графиков. Ответ: . Решение: см.рис.9.

Рис. 2

 

Т.к. то ветви параболы направлены вниз. Координаты вершины . .

рис.9

 

3.3. Дан квадрат 4х4 и четыре разных цвета. Сколькими способами можно покрасить клетки квадрата так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке присутствовали все цвета.

 

 

Ответ: .Решение см. рис.10. 1) ; 2) ; 3) 3 сп.; 4) 1, тогда .

рис.10

 

 

ТУР

4.1. На столе стоит правильная стеклянная треугольная пирамида РАВС (прозрачная), все ребра которой равны 1. Муравей ползет из точки М, лежащей на луче АВ на расстоянии 2 от точки В, в точку N - середину ребра РС. Найдите длину его кратчайшего пути. В ответе указать длину и нарисовать чертеж.
Ответ: . Решение см. рис.11.

 

4.2. Функция   определена для всех , кроме 1, и удовлетворяет равенству

. Найдите .

Ответ: . Решение: Если

.Если

. Тогда,

4.3. 16 карточек занумеровали числами от1 до 16. Можно ли их выложить вдоль одной прямой так, чтобы сумма номеров на любых двух соседних карточках была точным квадратом? В ответе привести пример.

Ответ: Да, можно. Решение: 16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8.