Поверхности второго порядка (в пространстве)

Факультет информатики

 Кафедра информационных систем

 

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

для студентов 1 курса (2 семестр) специальностей: «Информатика», «Профессиональное обучение (экономика и управление)»

дневного отделения

тема «Поверхности 2-го порядка

Составила ст. преподаватель

кафедры ИС, к. ф.-м. н

Арапина-Арапова Е.С.

2008 г.

Индивидуальное задание

для студентов 1 курса (2 семестр) специальностей «Информатика», «Профессиональное обучение (экономика и управление)»

тема «Поверхности 2-го порядка».

I. Задания.

Установить тип поверхности и построить ее.

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

(Значения чисел a, b, c, p  смотреть в таблице ниже. Выполняется задание по вариантам. Номер варианта выбирается по списку в журнале).

 

Варианты

 

Номер варианта	a	b	c	p		Номер варианта	a	b	c	p
1	2	3	4	2		21	4	3	2	2
2	2	4	3	2		22	4	2	3	2
3	4	3	2	2		23	3	4	2	2
4	4	2	3	2		24	3	2	4	2
5	3	4	2	2		25	3	4	5	1
6	3	2	4	2		26	3	5	4	1
7	3	4	5	1		27	4	3	5	1
8	3	5	4	1		28	4	5	3	1
9	4	3	5	1		29	5	3	4	1
10	4	5	3	1		30	5	4	3	1
11	5	3	4	1		31	1	2	3	2
12	5	4	3	1		32	1	3	2	2
13	1	2	3	2		33	3	2	1	2
14	1	3	2	2		34	3	1	2	2
15	3	2	1	2		35	2	3	1	2
16	3	1	2	2		36	2	1	3	2
17	2	3	1	2		37	2	3	4	2
18	2	1	3	2		38	2	4	3	2
19	2	3	4	2		39	4	3	2	2
20	2	4	3	2		40	4	2	3	2

 

II. Теоретический материал.

Кривые второго порядка (на плоскости)

Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости  и , называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

      Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через . Расстояние между фокусами равно .

Если фокусы эллипса совпадают, то он представляет собой окружность.

Расположим эллипс так, чтобы его фокусы лежали на оси абсцисс симметрично относительно оси ординат, то есть  (Рис.1). Пусть  текущая точка эллипса. В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:

,                                (1)

где  - большая,  - малая полуоси эллипса, . Центр симметрии эллипса, определяемого уравнением (2.12.1), совпадает с началом координат. Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса. Это уравнение второй степени, следовательно, эллипс – кривая второго порядка.

Рис.1.

Эксцентриситетом эллипса называется число , равное отношению фокусного расстояния к большой полуоси эллипса. Для эллипса -  (для окружности - ). Отрезки  и  называются фокальными радиусами точки М и могут быть вычислены по формулам  и . Если эллипс определен уравнением (1) и , то прямые  называются директрисами эллипса (если , то директрисы определяются уравнениями ).

Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости  и , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная .

Расстояние между фокусами равно .

При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Ось  называется

Рис. 2.

действительной осью, а  - мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы.

В этой системе координат каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

                     (2)

 

Эксцентриситетом гиперболы (как и эллипса) называется число , где  - расстояние от центра гиперболы до ее вершины. Очевидно, что для любой гиперболы .

Если  - произвольная точка гиперболы, то отрезки  и  называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы правой ветви гиперболы могут быть вычислены по формулам  и . Фокальные радиусы левой ветви гиперболы – по формулам  и .

           

Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости , называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Рис. 2.14.1

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка, в которой парабола пересекается с осью симметрии, называется вершиной параболы. При указанном выше выборе системы координат ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, а вся парабола лежит в правой полуплоскости.

В этой системе координат каноническое уравнение параболы имеет вид:

              (3)

 

Поверхности второго порядка (в пространстве)