Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Экзамен

По дисциплине: Математика (1сем.)

Выполнила: Свистуненко И.Г.

Группа: ПБТ-23

Вариант: 03

Проверил: ___________________

Новосибирск, 2012 г

Билет № 19

Методы интегрирования тригонометрических функций.

1) Рассмотрим интеграл от тригонометрических функций .

Этот интеграл с помощью подстановки всегда сводиться к интегралу от рациональной функции. Выразим Sin x, Cos x и dx через , то есть через t.

Если , то , а .

Пример: . , тогда , .

Следовательно, .

Подстановка даёт возможность проинтегрировать всякую функцию вида R(Sin x, Cos x).

Поэтому эту подстановку называют универсальной.

2) Рассмотрим интегралы вида:

а) .

Используют в этом случае подстановку Sin x = t, а Cos x dx = dt.

б) .

Используют подстановку Cos x = t, -Sin x = dt.

3) Рассмотрим интегралы .

а) если Sin x и Cos x входят только в чётных степенях, то используют подстановку tg x = t, так как и выражаются рационально через tg x.

; .

x=arctgt, .

б) если одно из чисел m и n нечетно, то этот интеграл сводиться к интегралу от рациональных функций подстановками Sin x =Z или Cos x=Z.

4) Для нахождения интегралов и . Используют подстановку tgx=t, (ctgx=t)

5) Рассмотрим интегралы вида:

; ; .

Эти интегралы находятся путем разложения на слагаемые по формулам:

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если она расположена выше любой своей касательной, то она называется выпуклой вниз в этом интервале.

Рис. 1. Точка B – точка перегиба

Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление её выпуклости.

Направление выпуклости кривой y=f(x) характеризуется знаком второй производной :

если в некотором интервале , то кривая выпукла вниз, то есть,

вогнута, а если , то кривая выпукла вверх, то есть, выпукла,

в этом интервале.

Абсциссы точек перегиба кривой y=f(x) находятся по следующему правилу:

1. Находится и точки x, в которых или не существует и которые лежат внутри области определения функции.

2. Определить знак слева и справа от каждой из этих точек. Исследуемая точка x будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от неё имеет разные знаки.

Пример: Задана кривая . (рис. 2)

Исследуем её на выпуклость, вогнутость, перегиб.

Находим ; .

, 6x=0, отсюда x=0.

При x<0, получаем . Следовательно, кривая выпуклая.

При x>0, получаем . Значит, кривая вогнута. Следовательно, x=0 – абсцисса точка перегиба.

Рис. 2. Кривая

3. Вычислить предел .

При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида .

Для нахождения предела в этом случае используем правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных,