Простейшие тригонометрические уравнения

Ход урока

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его

простейшего вида (см. выше) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

(метод замены переменной и подстановки).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1.

Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0, преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos ² x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е. cos ² x + sin x · cos x – sin ² x – cos ² x = 0,

sin x · cos x – sin ² x = 0,

sin x · (cos x – sin x) = 0,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x,

cos 4 x · (cos 2 x – cos 4 x) = 0,

cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0,

1). cos 4 x = 0, 2). sin 3 x = 0, 3). sin x = 0,

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos (или sin) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan.

П р и м е р. Решить уравнение: 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2.

Р е ш е н и е. 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2sin ² x + 2cos ² x,

sin ² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0,

tan ² x + 4 tan x + 3 = 0, отсюда y ² + 4 y +3 = 0,

корни этого уравнения: y ₁ = -1, y ₂ = -3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =

= 7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2),

2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0,

tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0,

..........

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида: a sin x + b cos x = c,

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin (здесь - так называемый вспомогательный угол), и наше уравнение принимает вид: