Методика изучения объемов геометрических тел в курсе геометрии

Содержание

1) Как возникла геометрия?................................................................. 3

2) Геометрия в жизни человека............................................................4

3) Геометрия в начальной школе.........................................................5

4) Методика изучения объемов геометрических тел в курсе геометрии...........................................................................................6

5) Анализ учебников…..........................................................................8

6) Список литературы.........................................................................43

Методика изучения объема геометрических тел в процессе изучения геометрического материала

Как возникла геометрия?

Геометрия-это одна из самых древних наук. Её возникновение вызвано потребностью человека измерять землю. Слово «геометрия» означает землемерие. На заре своего развития, несколько тысяч лет тому назад, геометрия Египта и Вавилона состояла из отделенных правил, полученных опытным путем и предназначавшихся главным образом для вычисления площадей и границ земельных участков.

В последующие века в связи с развитием торговли и ремесла развивается и геометрия, содержание которой значительно усложняется. Перед геометрией возникли новые задачи, связанные с измерением емкости сосудов, вычислением объектов различных тел, задачи, связанные с формой, размерами и взаимным расположением различных предметов [1].

В измерениях и построениях египтяне пользовались веревками. Если сделать на веревке 12 узелков на равных расстояниях и натянуть её в форме треугольника, то получится прямой угол. Это было очень важно для правильной разметки плодородных земель.

Большая роль в дальнейшем развитии геометрии принадлежит древнегреческим учёным (Фалес, Демокрит, Пифагор, Евклид), которые в значительной степени развили геометрическое учение египтян и наконец в III веке до н. э, придали ей современную форму и содержание. Особенно большая роль в истории развития геометрии принадлежит древнегреческому ученому Евклиду, который в III веке до н.э, обобщил и собрал воедино разрозненные геометрическими сведения своих современников и предшественников, дополнив их своими собственными исследованиями, и дал их систематическое изложение в своих тринадцати геометрических книгах, известных под общим названием «Начала».

«Начала» Евклида является первой удачной попыткой научного построения геометрии. Насколько большой авторитет имели и имеют теперь «Начала» Евклида, видно из того, что вся последующая учебная литературная по элементарной геометрии или дословного копирует Евклида, или написана под большим его влиянием [1].

Геометрия возникла в результате практической деятельности людей: нужно было сооружать жилища, храмы, проводить дороги, устанавливать границы земельных участков и определять их размеры. Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни [1].

Геометрия в жизни человека.

Посмотрите вокруг - всюду геометрия! Современные, космические станции, интерьеры квартир - всё имеет геометрическую форму. И уже этого достаточно, чтобы ответить на вопрос: «Нужна ли нам геометрия?»

Геометрия присутствует практически во всех сферах нашей жизни: нас окружают круглые, квадратные, прямоугольные, треугольные, кубические, цилиндрические, конические и другие объекты [2].

Геометрия в быту

Стены, пол и потолок являются прямоугольниками. Многие вещи напоминают окружность, например, обруч, кольцо. Предметов, имеющих форму цилиндра в окружающем нас мире очень много: трубы, бочки, стаканы.

Геометрия в природе

В самой природе много замечательных геометрических форм. Необыкновенно красивы и разнообразны многоугольники, созданные природой. Кристаллы горного хрусталя напоминают отточенный карандаш. Кристалл соли имеет форму куба. Обычная горошина, капельки росы – имеют форму шара. Совершая прогулку в лес, мы наблюдали за природой. Стволы деревьев - цилиндры, ель - конус.

Геометрия в архитектуре

В современной архитектуре смело используются самые разные геометрические формы. Многие жилые дома украшаются колоннами. Геометрические фигуры различной формы можно увидеть в постройке соборов и конструкциях мостов.

Геометрия в начальной школе.

Геометрия – это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия- это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объемный, пространственный и «метрео» - измерять [4].

В программе начальной школы геометрический материал является составной частью курса математики. Он не выделяется в самостоятельный раздел, а включается в программу каждого года обучения. Но, к сожалению, изучается геометрический материал в основном на уровне знания-знакомства.

Основная цель состоит в том, чтобы дать учащимся начальные геометрические представления, развить логическое мышление и пространственное воображение детей, сформировать умения узнавать геометрические фигуры и их части, делить геометрические фигуры на составные части, изображать фигуры на чертеже.

Изложение геометрического материала проводится в наглядно-практическом плане. Работая с геометрическим материалом, дети знакомятся и используют основные свойства изучаемых геометрических фигур. Задания располагаются в порядке усложнения и постепенного обогащения новыми элементами конструкторского характера.

Учащиеся знакомятся с геометрическими телами и их элементами; развертками геометрических тел. Дети учатся решать задачи на нахождение периметра, площади и объема фигур; знакомятся и учатся работать с основными инструментами: линейка, угольник, циркуль и др.

В программе учитываются возрастные особенности детей и материал представляется в форме интересных заданий, сказочных путешествий, дидактических игр, игровых ситуаций, используются стихи, сказки, считалки, загадки, ребусы.

Методика изучения объемов геометрических тел в курсе геометрии.

Объем – это положительная величина той части пространства, которую занимает геометрическое тело.

Понятие объема фигуры вводится аналогично понятию площади плоской фигуры. Первоначальное представление об объеме фигуры связывается у учащихся с подсчетом числа кубиков, длина ребра которых равна линейной единице измерения, заполняющих эту фигуру. Такое представление об объеме позволяет посмотреть в школьном курсе геометрии вопрос об объеме куба и параллелепипеда, вывести формулу для его нахождения. Далее изучается объем призмы, затем объем пирамиды, далее объемы других многогранников.

Куб - правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Параллелепипед - это четырёхугольная призма, основанием которой являются параллелограммы.

Призма - это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Пирамида - многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину [4].

Рассматривая УМК «Школа России» М. И. Моро и др. величину «объем» называют «емкостью» и изучают только в 1 классе, во 2 части стр. 38. Объема геометрических тел в данной программе не находится.

По другим программам детей знакомят с понятием объем при рассмотрении трехмерных или объемных фигур.

По программе УМК «Гармония» Н.Б.Истомина и др. в конце 3 класса, во 2 части, стр. 72 вводят куб, рассматривают модели куба и готовят детей к сравнению кубов по объему, продолжают в 4 классе.

При введении понятия объем, дети вспоминают изученные величины, которые вместе с объемом характеризуют размер предметов: длина, площадь.

Учитель объясняет, что кубы сравнивают по объему и предлагает разные способы:

1) сравнить «на глаз»

2) если можно поместить куб полностью внутрь другого.

Объем первого куба < объема второго куба

Учитель должен продемонстрировать, взяв два куба разных размеров с откидными крышками. (Кроме кубов можно использовать другие объемные геометрические фигуры. Призмы, пирамиды, конусы, цилиндры.)

3) использование мерок.

Показываем, что для сравнения объема используют кубические меры.

1 см³ - это объем куба, длина ребра которого равна 1 см. (1 дм³ - объем куба со стороной 1 дм)

По программе УМК «Система Занкова» И.И.Аргинская и др. рассматривают правила нахождения объема куба и прямоугольного параллелепипеда.

Формула: V=a*b*c где, а-длина, b-ширина, с-высота

Для вывода этого правила используют модель, составленную из кубиков.

Анализ учебников:

УМК «Гармония» Н.Б.Истомина и др.

М4И 2 часть, стр. 34

На странице 34 рассказывают, что такое кубический дециметр

М4И 2 часть, стр. 35

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нужно умножить длину на ширину и высоту.

Например, 1) (4*3)*3=36 (см)

УМК «Система развивающего обучения Л.В. Занкова» И.И.Аргинская и др.

М4А 2 часть, стр. 11

Вводится значение объема

М4А 2 часть, стр. 11

Чтобы сравнить, нужно найти объем каждой фигуры

М4А 2 часть, стр. 13

Выбор и использование произвольных мерок для измерения объема

М4А 2 часть, стр. 14

Выбор и использование произвольных мерок для измерения объема

М4А 2 часть, стр. 16

Введение общепринятых единиц измерения объема

М4А 2 часть, стр. 18

Знакомство с косвенными способами измерения объема прямоугольного параллелепипеда, как результат умножения его длины, ширины и высоты

М4А 2 часть, стр. 26

Правила нахождения объема прямоугольной призмы

Формула: V=a*b*c где, а-длина, b-ширина, с-высота

М4А 2 часть, стр. 36

Результат умножения площади основания на длину бокового ребра и получение формул объема

М4А 2 часть, стр. 38-39

М4А 2 часть, стр. 49

Для начала нам нужно найти количество кубиков на каждом этаже. После их сложить (получилось 30). Затем находим объем одного кубика (5*5*5=125 см). Теперь находим объем всей фигуры (125*30=3750 см)

М4А 2 часть, стр. 77

Чтобы вычислить объем, нужно сначала найти площадь шестиугольника

М4А 2 часть, стр. 108

Для начала находим площадь четырехугольника, после объем призмы

УМК «Перспективная начальная школа» А.Л.Чекин

М3Ч 1 часть, стр. 23

Знакомят с геометрической фигурой – куб

М4Ч 1 часть, стр. 90

Чтобы назвать номер фигуры, нужно вычислить объем каждой

М4Ч 1 часть, стр. 91

Объемными фигурами являются: шар, конус, цилиндр, куб, пирамида

М4Ч 1 часть, стр. 91

Куб с ребром 2 см состоит из 8 кубиков, а куб с ребром 1 см из одного кубика. Значит, объем одной фигуры больше другой в 8 раз

М4Ч 1 часть, стр. 92

Площадь равна: 1*1=1 см²

Объем равен: 1*1*1=1 см³

Кубический сантиметр, потому что ребро куба умножают 3 раза.

Объем куба с ребром 2 см: 2*2*2=8 куб. см

М4Ч 1 часть, стр. 92

В первом сосуде 10 куб. см

Во втором сосуде 30 куб см

В третьем сосуде 70 куб. см

М4Ч 1 часть, стр. 92

Нужно умножить длину, ширину и высоту. 10*5*4=200 куб. см.

Значит, в коробку можно вместить 200 кубиков

М4Ч 1 часть, стр. 93

Нужно:

1) измерить объем без шарика 2) положить в сосуд шарик и измерить объем воды с шариком 3) Вычесть из второго результата первый – это и будет объем самого шарика

М4Ч 1 часть, стр. 93

Объем данной фигуры 24 куб. см, т.к фигура состоит из 24 кубиков с ребром 1 см

(4*3)*2=24 куб. см

М4Ч 1 часть, стр. 94

В 1 дм – 10 см

В 1 дм² - 10*10=100 см²

В 1 дм³ - 10*10*10=1000 см³

М4Ч 1 часть, стр. 100

1 ф. – 11 кубиков

2 ф. – 10 кубиков

3 ф. – 12 кубиков

4 ф. – 12 кубиков

Следовательно, одинаковый объем у фигур 3 и 4

М4Ч 1 часть, стр. 101

Нужно добавить еще 5 кубиков

По формуле, (5*3)*2=30 куб. см

М4Ч 1 часть, стр. 101

Нужно найти объем коробки: (8*5)*3=120 куб. см

Вместится 12 брусков

М4Ч 2 часть, стр. 82

Квадрат – не имеет объем, куб имеет

Имеют объем: 1,3,6,8,9

М4Ч 2 часть, стр. 89

По формуле, (5*3)*1=15 куб. м

УМК «Учусь учиться» Л.Г.Петерсон

М1П 1 часть, стр. 39, 43

В данной программе, уже в 1 классе на стр. 39 и 43 знакомят с объемными фигурами

М2П 2 часть, стр. 46

Подробное знакомство с кубом и прямоугольным параллелепипедом

М2П 3 часть, стр. 40

Единицы измерения объема – литр

М2П 3 часть, стр. 40

Измерение объема с помощью мерок

М2П 3 часть, стр. 40

На стр. 40 вводится определение объема фигуры

М2П 3 часть, стр. 41

На стр. 41 вводятся единицы измерения объема

М2П 3 часть, стр. 41

Нужно определить, какие числа пропущены и найти объем коробки

(5*2)*3=30 куб. см

М2П 3 часть, стр. 41

На стр. 41 вводится формула для нахождения объема

М2П 3 часть, стр. 42

Чтобы найти объем, нужно умножить длину на ширину, а затем полученный результат умножить на высоту

Умножать длину, ширину и высоту в любом порядке

М2П 3 часть, стр. 44

Нужно длину умножить на ширину и получившее на высоту

Например, решим под а) (3*3)*3=27

М2П 3 часть, стр. 49

С помощью нахождения объема, объясняют свойства умножения (переместительное и сочетательное)

М2П 3 часть, стр. 58

В данном задании нужно найти объем двух прямоугольных параллелепипедов и сравнить их. Второй больше на 20 дм

М2П 3 часть, стр. 66

Мы можем сосчитать открытые кубики, у первой фигуры получается длина 5 см, ширина 2 см, высота 3 см:(5*2)*3=30 куб. см

Так же находим у второй фигуры и сравниваем

М2П 3 часть, стр. 104

По формуле находим объем первой фигуры: (5*4)*3=60 куб. дм

Объем второй:

(4*4)*4=64 куб. дм

Сравниваем фигуры:

64-60=4 куб. дм

М2П 3 часть, стр. 105

В каждом ряду по 3 кубика, нужно (3*3)*3=27 (дм³) и получим объем прямоугольного параллелепипеда

М2П 3 часть, стр. 105

Находим по формуле, (5*4)*3=60 куб. м

М3П 1 часть, стр. 105

По формуле, 1) (2∗3)∗1=6 (куб. см) −объем первой фигуры;
2) (2∗3)∗2=12(куб. см) − объем второй фигуры;
3) (2∗3)∗4=24(куб. см) − объем третьей фигуры;
4) (5∗2)∗3=30(куб. см)− объем четвертой фигуры.

М3П 2 часть, стр. 89

Введение формулы

М3П 2 часть, стр. 90

Правила прочтения формулы

М3П 2 часть, стр. 90

Нахождение по формуле,

а) (8*10)*9 = 720 (куб. см)

б) (30*20)*70 = 420000 (куб. м)

Под буквой в) нужно дм перевести в см

в) (20*70)*50 = 70000 (куб. см)

М3П 2 часть, стр. 91

Нахождение по формуле, (3*4)*7 = 84 (куб. м) − объем комнаты

М3П 2 часть, стр. 96

Нахождение по формуле,

А) 6 * 2 * 3 = 36 (куб. см)

Б) 4 * 3 * 2 = 24 (куб. см)

В) 4 * 4 * 4 = 64 (куб. см)

М3П 3 часть, стр. 6

Нахождение по формуле, 50 * 30 * 40 = 60000 (куб. см) − объем аквариума

М3П 3 часть, стр. 36

1) 87 * 43 * 56 = 209496 (см3)

− объем первой фигуры;
2) 62 * 62 * 62 = 238328 (см3)

− объем второй фигуры;
3) 209496 < 238328 − значит второй параллелепипед вместительнее.

М4П 2 часть, стр. 35

Нахождение по формуле,

1) 2 * 3 * 2 = 12 (см3)

2) 1 * 2 * 3 = 6 (см3)
3) 9 * 1 = 9 (см3)
4) 3 * 3 + 2 * 2 + 1 = 14 (см3)

М4П 2 часть, стр. 87

Нужно найти объем каждой комнаты, по формуле и затем сравнить

3*7*3=63 куб. м

5*3*4=60 куб. м

6*4*3=72 куб. м

Третья комната имеет больший объем

УМК «Школа 2100» Т.Е.Демидова и др.

М3Д 1 часть, стр. 24

Знакомство с параллелепипедом и кубом

М3Д 1 часть, стр. 26

Вводят единицу измерения объема – кубический сантиметр и утверждают, что прямоугольный параллелепипед – это объемная фигура

М3Д 1 часть, стр. 26

Под буквой а) можно посчитать кубики или сделать быстрее, найти площадь, значит 4*3=12 (куб.)

Под б) по 12 кубиков 2 ряда, 4*3*2=24

М3Д 1 часть, стр. 27

Введение формулы определения объема

М3Д 1 часть, стр. 27

Нахождение по формуле,

А) 4*1*2=8 (куб. см)

Б) 3*3*3=27 (куб. см)

М3Д 1 часть, стр. 27

Если коробки перевернуть, то длина может стать высотой, а высота – шириной. Чтобы найти объем коробки, нужно умножить длину, ширину и высоту в любом порядке

М3Д 1 часть, стр. 27

Нахождение по формуле, 5*2*1=10 (куб. см)

М3Д 1 часть, стр. 28

Подведение к новой единицы измерения

М3Д 1 часть, стр. 28

Вводят кубический дециметр и кубический метр

М3Д 1 часть, стр. 28

Нахождение по формуле,

А) 4*2*2=16 куб. дм

Б) 3*2*3=18 куб. м

М3Д 1 часть, стр. 31

Площадь квадрата находится по формуле а*а, значит, 4 см²=2 см*2 см. Значит длина грани 2 см.

Находим объем: 2*2*2=8 (куб. см)

М3Д 1 часть, стр. 37

Нахождение по формуле,

3*2*2=12 (куб. дм)

М3Д 1 часть, стр. 51

Нужно разделить фигуру на две части, квадрат и прямоугольник.

1) 2*2*3=12 (куб. дм)

2) 2*4*3=24 (куб. дм)

3) 12+24=36 (куб. дм) – вся фигура

М3Д 1 часть, стр. 71

Можно определить на глаз,

Денис – синяя

Костик – зеленая

Мишка - желтая

М3Д 1 часть, стр. 81

Для начала нужно найти объем комнаты: 6*2*2=24 (куб. м)

Объем шкафа – 24:4=6 (куб. м) т.к. четвертая часть

М3Д 2 часть, стр. 4

Разделили фигуру на 2 прямоугольника, у каждого получилось длина – 3 м, ширина 2 м

Значит, 3*2*2=12 (куб. м) – объем одного прямоугольного параллелепипеда.

Т.к прямоугольника 2, значит, 12*2=24 (куб. м) – объем контейнера

М3Д 2 часть, стр. 59

Раз шкаф занимает тридцатую часть и объем шкафа 2 куб. м, значит, 2*30=60 (куб. м) – объем всей комнаты

М3Д 2 часть, стр. 79

Если сложить два треугольника, то получится квадрат, равный квадрату в центре

3*3=9 (кв. м) – площадь одного квадрата

9*2=18 (кв. м) – площадь двух квадратов

500 см - это 5 м

18*5=90 (куб. м) – объем всего бассейна

М4Д 2 часть, стр. 4

Объем фигуры

1дм³*12=12дм³=12*1000=12000см³

М4Д 2 часть, стр. 19

Если сторона каждого куба равна 3 м, то объём одного куба: 3 * 3 * 3 = 27 м³.

В первой, второй и третьей фигуре 5 кубов, у них одинаковый объём: 27 * 5 = 135 м³ - в каждой. Только в последней фигуре 6 кубов, это фигура и есть лишняя: 27 * 6 = 162 м³

М4Д 2 часть, стр. 69

1) 2*2*2=8(куб.м)-объем 1 куба, из которых состоит вся фигура.
т.к таких кубов (судя по рисунку) 12 штук, то
2) 8*12=96(куб.м) - объем всей фигуры

Проанализировав учебники, можно сделать вывод, что заданий на объем достаточно, но не в каждой программе есть задания на определение объема геометрических тел. По программе «Школа России» величину «объем» называют «емкостью» и изучают только в 1 классе, нет задач на определение объема геометрических фигур. Больше всего заданий по программе «Учусь учиться» Л.Г.Петерсона. В данной таблице приведено количество заданий в каждом классе.

Класс/кол-во заданий	«Гармония»	«Система развивающего обучения Л.В. Занкова»	«Перспективная начальная школа»	«Учусь учиться»	«Школа 2100»
1 класс	-	-	-	-	-
2 класс	-	-	-	12	-
3 класс	-	-	1	6	12
4 класс	2	10	16	2	3