Перестановки с повторениями

Перестановки.

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор из этих элементов.

 -число перестановок из n элементов

Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. последний элемент – одним способом, а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения.

Размещения.

Размещением из n по m называется любой упорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов (m<=n).

 - число размещений из n элементов по m (число вариантов такого упорядоченного выбора).

Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д., а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения.

Сочетания.

Сочетанием из n по m называется любой неупорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов.

Сочетания и размещения связаны следующим образом:

 (на каждый состав из m элементов мы имеем m! упорядоченных наборов). Таким образом,

 число сочетаний из n элементов по m (число вариантов такого не упорядоченного выбора).

Размещения с повторениями

Размещением из n по m c повторениями называется любой упорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов, если выбор производится с возвращением.

 число размещений с повторениями из n элементов по m (число вариантов такого упорядоченного выбора).

Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n и т.д., а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения.

Перестановки с  повторениями

Пусть имеются n элементов, причём среди них есть одинаковые (, n_i –численности групп одинаковых элементов). Тогда число перестановок из этих элементов вычисляется по формуле:

Знаменатель указывает на то, что при перестановке одинаковых элементов между собой сама перестановка не меняется.

Разбиение на группы

Пусть имеются n элементов, их надо разбить на m групп так чтобы 1 группа содержала  n1 элементов, вторая – n2 и т.д. ….m-я группа nm, причём

 Тогда число способов осуществить это разбиение на группы рассчитывается по формуле:

Сочетания из 3 элементов по 2

 

(число неупорядоченных наборов из 3 элементов по 2 = 3)

 

                                                                                              

 

 

(Общая формула )

 

 

 

1).

                        

 

								Число способов осуществить указанный выбор

 

2).

 

 

 

3).

 

 

Размещения из 3 элементов по 2

 

(число упорядоченных наборов из 3 элементов по 2)=6

 

					Выбирается 2 Элемента

 

 

                                                                                              

 

(Общая формула )                     1              2    

 

1).

                        

 

2).

 

 

	Число способов осуществить указанный выбор

 

3).

 

 

4).

 

 

5).

 

 

6).

                                                                                     

 

 

                                                                                                            

1)

 

 

 

 

2)

 

 

3).

 

                 

 

 

4).

 

 

5).

 

6).

И т.д.