Расчет устойчивости гибких элементов

Расчет элементов деревянных конструкций

Центральное растяжение

 

Прочность растянутых элементов ДК проверяется по формуле

,                                             (1)

где N – продольная сила в рассчитываемом элементе;

 - площадь сечения-нетто за вычетом симметричных ослаблений. При ее определении ослабления, расположенные на участке длиной S ≤ 200 мм, принимаются совмещенными в одном сечении из-за возможного разрыва элемента по зигзагу;

В СП 64 и в большинстве учебников по старой традиции площадь обозначается буквой F,

 - коэффициент, учитывающий концентрацию напряжений у ослаблений, принимаемый равным 0,8 при их наличии;

 - расчетное сопротивление древесины заданного сорта, рассчитываемое с учетом длительности действия нагрузок учитываемого сочетания, условий работы и уровень ответственности конструкции.

R_р = R_р^А m_дл П m_i /γ_n                                                  (2)

 

Расчетное сопротивление R_р^А для режима нагружения при стандартном испытании древесины принимается по таблице 3 СП 64 для сосновой или еловой древесины используемого сорта. Для древесины других пород учитывается переходный коэффициент m _п по табл. 5 норм.

Центральное сжатие

 

Различаются два случая расчета: коротких (жестких) и длинных (гибких) элементов. Короткие элементы, имеющие длину не более семи минимальных размеров поперечного сечения, рассчитывают на прочность, более длинные – на устойчивость.

 

Расчет прочности коротких элементов

Расчетное условие прочности при сжатии имеет вид

,                                         (3)

где  - расчетное сопротивление сжатию сосны или ели, рассчитываемое как и в предыдущем случае по формуле (2). Концентрация напряжений у ослаблений не учитывается, ослабления в одно сечение не совмещают.

При вычислении площади сечения-нетто , в отличие от случая центрального растяжения, при расчете на сжатие ослабления в одном сечении не совмещают.

 

Расчет устойчивости гибких элементов

Деревянные элементы постоянного цельного сечения проверяются на устойчивость по формуле

.                                        (4)

Здесь:  - расчетная площадь поперечного сечения, принимаемая в зависимости от наличия и размеров ослаблений равной:

 при отсутствии ослаблений в расчетном сечении и при симметричных ослаблениях, не выходящих на кромки, если их площадь не превышает 25 % общей площади сечения ;

 при симметричных ослаблениях, не выходящих на кромки, если их площадь превышает 25 % общей площади сечения ;

 при симметричных ослаблениях, выходящих на кромки.

 

Коэффициент продольного изгиба  для элементов из древесины следует определять по формулам:

при гибкости                        ,                                     (5)

при гибкости                           .                                             (6)

Коэффициент продольного изгиба φ представляет собой отношение критического напряжения, при котором происходит потеря устойчивости, к пределу прочности. Формула (6) является частным случаем для древесины формулы Леонарда Эйлера

,

полученной в еще в XVIII веке. Она описывает квадратную гиперболу, устремляющуюся к бесконечности при приближении гибкости λ к нулю. Уже при λ<55 значение коэффициента φ превышает единицу (штриховая линия на рисунке ниже), что не имеет смысла. Поэтому при гибкостях  вместо гиперболы Эйлера используют эмпирическую зависимость (5) полученную в ЦНИПСе Д.А. Кочетковым. Центральный научно-исследовательский институт промышленных сооружений (1932-57 гг.) сокращенно назывался ЦНИПС, а не ЦНИИПС, как часто пишут в разных источниках.

                        φ

 

Ослабления сжатых элементов а – не выходящие на кромку; б – выходящие на кромку

Гибкость  вычисляется в зависимости от расчетной длины  и радиуса инерции поперечного сечения  по формуле

,                                        (7)

где  - длина элемента между точками его закрепления в плоскости, в которой производится расчет;

 - коэффициент, учитывающий способ закрепления концов элемента.

При загружении концов элемента продольными силами коэффициент  принимается равным:

1,0 – при шарнирном закреплении обоих концов стержня;

0,8 – при одном шарнирно закрепленном конце и другом защемленном;

2,2 – при одном защемленном конце и другом свободном от закрепления нагруженном конце;

0,65 – при обоих защемленных концах.

При загружении стержня распределенной равномерно по длине продольной нагрузкой  принимается равным:

0,73 – при шарнирном закреплении обоих концов стержня;

1,2 – при одном защемленном и другом свободном от закрепления конце.

Остальные случаи определения расчетной длины рассмотрены в п. 7.23 CП 64.13330.2017.

Радиус инерции  в общем случае вычисляется по формуле

,                                                  (8)

где и  соответственно момент инерции и площадь поперечного сечения элемента брутто.

Для элементов с прямоугольным поперечным сечением с размерами b и h из формулы (8) легко получается  или , а для элементов из круглых лесоматериалов с диаметром d соответственно .

Гибкость элементов и их отдельных ветвей не должна превышать предельных значений, приведенных в табл. 16 CП 64.13330.2017

Сжатые элементы переменного поперечного сечения рассчитываются на устойчивость также по формуле (4), однако при этом:

– в качестве расчетной площади поперечного сечения принимается площадь сечения с наибольшими размерами;

– радиус инерции r, а соответственно также гибкость l и коэффициент продольного изгиба j вычисляются по геометрическим характеристикам сечения с наибольшими размерами;

– коэффициент  в знаменателе формулы (4) дополнительно умножается на коэффициент , учитывающий переменность сечения по длине рассчитываемого элемента (табл. Е.2 прилож. Е к CП 64.13330.2017).

Таблица 16 СП 64.13330.2017

 

Изгиб

Изгибаемые элементы деревянных конструкций рассчитывают по двум группам предельных состояний. Проверяются прочность поперечных сечений на действие нормальных напряжений, прочность на скалывание при изгибе, жесткость элемента. Балочные конструкции из клееной древесины, которые целесообразно проектировать с большой высотой поперечного сечения при возможно меньшей его ширине, проверяются на устойчивость плоской формы деформирования. Прогоны и бруски обрешетки, расположенные в плоскости ската кровли, рассчитывают на косой изгиб.

 

Поперечный изгиб

Расчет деревянных элементов на изгиб по нормальным напряжениям
производится приближенно. При более точном методе потребовался бы учет
различных значений модулей упругости в сжатой и растянутой зонах сечения и соответственно разный характер эпюр нормальных напряжений.

Из рисунка на следующей странице видно, что в сжатой зоне развиваются большие
пластические деформации, которые нарушают прямолинейность распределения нормальных напряжений по высоте сечения. Таким образом, нормальные напряжения определяют при двух допущениях: во-первых, считается, что модули упругости в растянутой и сжатой зонах равны, т.е. Е _с= Е _р, и, во-вторых, условно принимается прямолинейное распределение напряжений σ_и по
высоте элемента.

Нормальные напряжения в предельной стадии при изгибе

 

Приближенность расчета учитывается при большой высоте сечения h >50 см коэффициентом m _б < 1, на который умножается расчетное сопротивление (см. ниже формулу (12)).

 

Прочность нормальных сечений элементов, обеспеченных от потери устойчивости плоской формы деформирования, проверяется по формуле

,                                        (9)

где  - расчетный изгибающий момент;

 - расчетный момент сопротивления поперечного сечения. Для цельных элементов , для составных элементов на податливых связях  дополнительно умножается на коэффициент учета податливости , принимаемый по табл. 15 64.13330.2017. При определении момента сопротивления нетто ослабления сечений, расположенные на участке длиной до 200 мм, принимают совмещенными в одном сечении;

 - расчетное сопротивление изгибу.

Расчет на устойчивость плоской формы деформирования изгибаемых элементов прямоугольного постоянного по длине поперечного сечения производится по формуле

,                                     (10)

где  - максимальный изгибающий момент на рассматриваемом участке между точками раскрепления сжатой кромки из плоскости деформирования длиной ;

 - максимальный момент сопротивления брутто на рассматриваемом участке;

 - коэффициент устойчивости при изгибе, определяемый по формуле:

,                                         (11)

где  - ширина поперечного сечения;

 - максимальная высота поперечного сечения на участке ;

 - коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке , определяемый по табл. Е.1 прил. Е CП 64.13330.2017.

Расчет на устойчивость плоской формы деформирования допускается не производить, если выполняется условие:

,                                              (12)

где  - коэффициент, принимаемый по табл. 10 CП 64.13330.2017.

Формулу (12) удобно использовать для определения предельного расстояния между узлами прикрепления скатных связей, раскрепляющих плоские стропильные конструкции из плоскости их деформирования.

Расчет устойчивости изгибаемых элементов с линейно меняющейся по длине высотой поперечного сечения и постоянной шириной производится также по формуле (10), при этом коэффициент  дополнительно умножается на коэффициент  или , определяемые в соответствии с п. 7.14 CП 64.13330.2017.

Расчет изгибаемых элементов на прочность по скалыванию в общем случае производится по формуле Д.И. Журавского:

,                                      (13)

где  - расчетная поперечная сила;

 - статический момент брутто сдвигаемой части поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси;

 - момент инерции брутто поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси;

 - расчетная ширина элемента в сечении, в котором определяются касательные напряжения;

 - расчетное сопротивление скалыванию при изгибе. Для цельных и дощатоклееных конструкций оно различно. При этом учитывается возможность скалывания между слоями вдоль клеевого шва, прочность которого из-за технологических дефектов может оказаться пониженной по сравнению с прочностью древесины.

Для элементов прямоугольного поперечного сечения после подстановки в формулу (12) выражений для вычисления статического момента и момента инерции получается более простая формула проверки на скалывание:

.                                         (14)

Проверка прогибов изгибаемых элементов производится по общей формуле

,                                  (15)

где  - прогиб фиктивной балки постоянного сечения высотой , равной максимальной высоте рассчитываемой балки, без учета деформаций сдвига;

 - наибольшая высота поперечного сечения рассчитываемого элемента;

l – расчетный пролет балки;

 - коэффициент, учитывающий переменность высоты сечения, принимаемый равным 1 для балок постоянного сечения;

 - коэффициент, учитывающий влияние деформаций сдвига от поперечной силы. Значения коэффициентов k и c принимаются по табл. Е.4 прил. Е CП 64.13330.2017.

 - предельный прогиб элемента.

 

Вертикальные предельные прогибы элементов конструкций и нагрузки, от которых следует определять прогибы, приведены в табл. Д.1 СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия»

Для наиболее распространенного случая загружения однопролетной шарнирно опертой балки равномерно распределенной нагрузкой прогиб без учета деформаций сдвига вычисляется по формуле

,                                        (16)

где  - нормативное значение погонной равномерно распределенной нагрузки на балку;

 - модуль упругости, принимаемый для древесины всех пород равным 10000 МПа;

 - момент инерции сечения с наибольшей высотой.

 

Здесь нужно заметить, что момент инерции поперечного сечения в СП 64 и почти во всех учебниках и пособиях по КДиПМ обозначается буквой J. Это совершенно не соответствует естественному обозначению I, принятому, например, в учебниках по железобетонным конструкциям. Легко предположить, что это сделано для исключения путаницы момента инерции I с римской цифрой I, часто использовавшейся ранее в нумерации глав и параграфов технических книг.

 

 

Таблица Д.1 СП 20.13330.2016 [7]

 

 

Для других схем загружения и условий закрепления элемента прогиб  вычисляется общими методами строительной механики (интеграл Мора) или для некоторых частных случаев – по формулам справочных пособий. Например, для шарнирно опертой балки, загруженной сосредоточенной силой P в середине пролета,

.                                       (17)

При иных схемах загружения балок сосредоточенными силами изменяется коэффициент перед дробью в правой части этой формулы.

Прогиб клееных элементов из фанеры с древесиной определяется также по формулам (15) и (16). При этом жесткость сечения в знаменателе формулы (16) принимается равной , а геометрические характеристики поперечного сечения приводятся к одному из материалов – фанере или древесине. Соответственно, используется модуль упругости того материала, к которому приведены геометрические характеристики.

Косой изгиб

 

На косой изгиб работают в основном деревянные конструкции покрытий: настилы, бруски обрешетки, прогоны, расположенные в плоскости ската кровли. При этом направление действия нагрузок от собственного веса и снеговой не совпадает с направлением осей симметрии их поперечных сечений. В таком случае расчетные усилия или нагрузки представляют в виде двух составляющих, направленных вдоль осей симметрии сечения.

Разложение вертикальной нагрузки на нормальную q_x и скатную q_y составляющие

 

Проверка прочности нормальных сечений при косом изгибе производится по формуле

,                                         (18)

где  и  - составляющие расчетного изгибающего момента для главных осей сечения x и y;

 и  - моменты сопротивлений поперечного сечения нетто относительно этих главных осей.

 

Полный прогиб элемента при косом изгибе вычисляется по формуле

,                                         (19)

где  и  - составляющие прогиба вдоль главных осей симметрии сечения.

Касательные напряжения при косом изгибе от двух составляющих поперечной силы действуют по взаимно перпендикулярным площадкам и поэтому при проверке на скалывание не суммируются.

 

Сжатие с изгибом

 

Расчет прочности деревянных элементов при сжатии с изгибом производится по деформированной схеме с учетом увеличения изгибающего момента от действия продольной силы с эксцентриситетом, вызванным деформацией элемента поперечной нагрузкой (рис. 2). Поэтому усилия в таких элементах зависят от формы и размеров их поперечных сечений, задаваемых в начале расчета.

 

Проверка прочности производится методом последовательных приближений по формуле

,                                         (20)

где  - изгибающий момент от действия поперечных и продольных нагрузок, определяемый из расчета по деформированной схеме.

 

Для шарнирно опертых элементов при симметричной эпюре изгибающих моментов параболического и близкого к нему очертания и для консольных элементов

,                                             (21)

где  - изгибающий момент в расчетном сечении без учета дополнительного момента от продольной силы, вычисленный при статическом расчете конструкции;

 - коэффициент, изменяющийся от 1 до 0, учитывающий дополнительный момент от продольной силы вследствие прогиба элемента, определяемый по формуле

;                                        (22)

 - коэффициент, вычисляемый по формуле (6) при любом значении гибкости .

При несимметричном загружении и сложных формах эпюр изгибающих моментов расчет производится по п. 7.17 CП 64.13330.2017.

Следует иметь в виду, что изгибающий момент в деформированном элементе увеличивается лишь в тех сечениях, где действительно произошли деформации (прогиб). В сечениях, закрепленных от деформирования в плоскости элемента, продольная сила N не увеличивает изгибающий момент. Для таких сечений ξ=1.

При отношении напряжений от изгиба σ _и = М _Д/ W к напряжениям от сжатия σ _с = N / A менее 0,1 сжато-изгибаемые элементы следует также проверять на устойчивость по формуле (4) без учета изгибающего момента.

 

Проверка устойчивости плоской формы на участке между точками раскрепления  при сжатии с изгибом производится по формуле

,                               (23)

где  и  - площадь и момент сопротивления брутто сечения с наибольшими на рассматриваемом участке размерами;

 - коэффициент продольного изгиба, определяемый по формуле (5) для гибкости участка длиной  из плоскости деформирования;

 - коэффициент устойчивости, определяемый по формуле (10);

 - принимается равным 2 для элементов без раскрепления растянутой зоны из плоскости деформирования и равным 1 для элементов, имеющих такие раскрепления (например, связи).

При наличии в элементе закреплений из плоскости деформирования по растянутой кромке коэффициент  в формуле (23) дополнительно умножается на коэффициент , а коэффициент  на коэффициент , вычисляемые по формулам (32) и (45) CП 64.13330.2017.

Прогиб сжато-изгибаемых шарнирно-опертых симметрично нагруженных элементов и консольных элементов следует определять из расчета по деформированной схеме. Допускается прогиб f _N рассчитывать по формуле

где f – прогиб, вычисляемый как для изгибаемого элемента по формуле (15).

Растяжение с изгибом

Проверка прочности деревянных элементов при растяжении с изгибом производится по формуле

 

,                                      (24)

 

где площадь сечения нетто  и расчетный момент сопротивления  вычисляются как при расчете на центральное растяжение и поперечный изгиб, соответственно.

В запас прочности не учитывается разгружающий эффект продольной силы, уменьшающей максимальный изгибающий момент в расчетном сечении (эффект, противоположный проиллюстрированному в расчете на сжатие с изгибом).