Задача сводится к проблеме движения материальной точки в поле центральных сил

Рис. 2-4

Сложение

Вычитание

Преобразования Галилея:

Рис. 2-9

Скалярное произведение

Работа силы на перемещении производится проекцией силы на это направление : - скалярное произведение.

Рис. 3-7

Векторное произведение-направление есть вывинчивание правого винта (от r к p)

Моментом количества движения частицы (материальной точки) P относительно некоторой точки называется вектор ,

Рис. 1-2

Координаты события:

Положение точки: , расстояние между точками 1 и 2: .

См. Рис. 2-4

Мгновенная и средняя скорость

= .

Мгновенное ускорение .

Система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в системе :

правило «бац-цаб»

Сложение векторов	Умножение векторов =
x₃=x₁+x₂	x₃=y₁z₂-z₁y₂
y₃=y₁+y₂	y₃=z₁x₂-x₁z₂
z₃=z₁+z₂	z₃=x₁y₂-y₁x₂

Движение по окружности

Рис. 3-2

Псевдовектор

Угловая скорость:

направление есть ввинчивание правого винта (направление dr есть вывинчивание, т.е. вверх!)

Связь с линейными характеристиками:

Изменение скорости и ускорения

, - - осестремительное ускорение, нормальное!

- кориол и сово ускорение, тангенциальное.

Дифференцирование и интегрирование

Определение:

производная функции f(x) по x:

Смысл –угловой коэффициент касательной к f(x) в т. x

Вектор мгновенной скорости и производная:

= =

= В итоге: три производные от координат!

Определенный интеграл от f(x) в пределах от a до b есть предел интегральной суммы при разбиении промежутка [ ab ] на малые промежутки , т. е.

Имеет смысл площади под f(x) на [ ab ].

Рис. 2-10

Работа силы на траектории между точками 1 и 2 равна сумме работ на элементарных отрезках:

- криволинейный интеграл по .

Конец Напоминания.

Проблема движения планет

Воспользуемся полученной информацией для рассмотрения проблемы движения планет Солнечной системы.

РИС. 3-11

Радиус орбиты движения Земли (T) вокруг Солнца (S) »150000000 км.

Если пренебречь взаимодействием между планетами,

задача сводится к проблеме движения материальной точки в поле центральных сил.

Введем понятие секториальной скорости.

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , через промежуток времени - радиусом-вектором .

РИС. 3-12

Величине придается векторный смысл, чтобы зафиксировать направление движения. Площадь, ометаемая радиусом-вектором точки, движущейся вокруг силового центра О, за время : .

Скорость изменения площади, ометаемой радиусом-вектором (секториальная скорость): .

По определению момента количества движения .

- в случае движения материальной точки в центральном поле ее момент количества движения пропорционален ее секториальной скорости.

Два следствия

1) Постоянство вектора – это постоянство не только его абсолютного значения (модуля), но и его направления. Значит, плоскость, перпендикулярная , занимает постоянное положение в пространстве; именно в этой плоскости лежат вектора и . Следовательно, траектория движения материальной точки в поле центральных сил – это плоская кривая.

1-ый закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении, т.е. в задаче двух тел, орбита движущейся точки есть плоская кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения.

Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2) Из постоянства модуля вектора следует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки, движущейся в поле центральных сил, ометает равные площади.

РИС. 3-13

2-ой закон Кеплера (1609 год)

В невозмущенном движении площадь, описываемая радиусом-вектором точки, движущейся в поле центральных сил, изменяется пропорционально времени.

Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Оба эти закона Кеплера были в свое время получены в результате обработки экспериментальных данных Тихо Браге (1546-1601) и привели впоследствии Ньютона к установлению закона всемирного тяготения: - всегда притяжение – единственная сила, управляющая движением астрономических тел.

3-ий закон Кеплера (1619 год).

Формулировка Кеплера:

квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца:

Справедливость 3-го закона Кеплера можно доказать, если считать орбиты планет круговыми. Это предположение не слишком грубое, так как эксцентриситет орбит планет невелик: для орбиты Земли »0.017, для орбиты Меркурия »0.205.

Напоминание

Эксцентриситет кривой второго порядка (конического сечения) – число, равное отношению расстояния от любой точки кривой 2-го порядка до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы.

РИС. 3-14

У эллипса две директрисы (), каждая соответствует своему фокусу ; эксцентриситет: . Уравнение директрис: ; . Если , то и эллипс вырождается в прямую . Если , то директриса удаляется в бесконечность, фокусы сливаются в один. Эллипс превращается в окружность.

Итак, малость эксцентриситетов орбит планет Солнечной системы позволяет считать их орбиты круговыми.

Пусть одна планета имеет массу , круговую орбиту радиуса и период обращения , вторая планета - .

Стационарное состояние: центробежная сила равна и противоположно направлена силе притяжения:

, где - масса Солнца,

Гравитационная постоянная g =6,6710^-11 м³/кгс² или

(6.6732±0.0031)× 10^-8 дин×см²/г² [Н×м²/кг²].

- универсальная константа.

Заменяя , находим:

или

Для планет, движущихся по круговым орбитам, 3-ий закон Кеплера:

Мы знаем, что ускорение материальной точки (планеты) при равномерном движении по круговой орбите:

. Подставим следующее обозначение: (постоянная Кеплера); ; тогда и соответственно сила .

Поскольку планета и Солнце равноправно должны входить в закон взаимодействия:

, где - масса Солнца. Из сравнения сил видно, что

постоянная Кеплера .

Ньютон не объяснил происхождения гравитационного взаимодействия – одной из фундаментальных сил природы. Общая теория относительности тоже не дает какого-либо наглядного толкования тяготения, дает лишь новый способ описания и более глубокое обобщение закона всемирного тяготения.

4 Лекция 4