Тема: Математические понятия и способы их определения

Понятия, изучаемые в курсе начальной математики делятся на 4 группы: - 1 группа понятий связана с числами и действиями над ними;

-2 группа – алгебраические понятия (выражения, равенство, уравнение,…)

-3 группа - геометрические понятия (отрезок, луч, треугольник,…)

-4 группа – понятия. Связанные с величинами и их измерением.

Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные признаки объектов реального мира.

Термин "понятие" используется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания. Сами понятия в объективном мире не существуют, они возникают в сознании человека, являясь их идеальными образами.

Можно сказать, что понятие есть результат обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных явлений и предметов.

Понятие всегда включает в себя существенные признаки данного множества объектов.

Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного понятия от других объектов.

Существенные признаки параллелограмма:

1. Четырехугольник;

2. противоположные стороны параллельны;

3. противоположные стороны равны;

4. диагонали в точке пересечения делятся пополам;

5. противоположные углы равны и т.д.

При определении понятия «параллелограмм» указываются не все существенные признаки, а можно ограничиться признаками 1-2 (либо 1 и 3) (либо 1 и 4).

Признаки, входящие в определение понятия должны быть независимыми.

В каждом понятии различают его содержание и его объем.

Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков, объектов, охватываемых понятием.

Объемом понятия называется совокупность объектов, на которые распространяется данное понятие.

Понятие "прямоугольник".

Содержание понятия: параллелограмм, противоположные стороны равны и параллельны. Углы прямые, …

Объем: множество всех прямоугольников.

Понятие "параллелограмм": (назвать содержание, объем понятия).

Между объемом и содержанием понятия существует такое соотношение: чем больше содержание, тем меньше его объем.

Понятие "прямоугольник". Объем: все прямоугольники.

Добавим новый признак - равенство прилежащих сторон, тогда объем сократится, в него войдут только квадраты.

Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым, а второе родовым.

V₁ Ì V₂

V₁ видовое понятие, V₂ родовое понятие

Понятно, что названия "род" и "вид" имеют относительный характер.

V "квадрат" Ì V "прямоугольник" Ì V "параллелограмм"

родовое понятие видовое понятие

Отношение между ближайшим родовым и видовым понятием можно выразить следующим образом.

род четырехугольник

вид прямоугольник

2. Определение понятий.

Большая роль в формировании понятий принадлежит речевому и символическому их выражению.

Слово называют носителем понятия. Слово, обозначающее строго определенное понятие какой-либо области науки, называют научным термином.

"Ромб", "тетраэдр", "многоугольник" – математические термины.

Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенное в связное предложение (речевое или символическое) есть определение понятия.

В определении должно быть раскрыто содержание понятия, в нем не должно содержаться лишних слов, не должно быть и пропусков.

Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые. (недостаточное)

Квадрат – это параллелограмм с равными сторонами и четырьмя прямыми углами (избыточное).

Необходимо, чтобы учащиеся понимали, что никакое определение не доказывается.

Определение понятия – суть условное соглашение, но оно выбирается разумно, исходя из реальных свойств того или иного понятия в соответствии с теми или иными требованиями.

а) "прямоугольник" – в школе определение избыточное с целью уменьшения числа доказываемых свойств.

б) привести другие определения параллелограмма, квадрата.

Некоторые первоначальные математические понятия не определяются: точка, множество, прямая, плоскость, расстояние.

Способы введения определений понятий.

1. Через ближайший род и видовое отличие.

"четное число, это такое натуральное число, которое делится на2".

"Взаимно простыми числами называются такие натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1".

"Отрезок – геометрическая фигура, состоящая из двух точек и всех точек, лежащих между ними".

Определяя каждое из этих понятий, мы указываем родовое понятие, к которому определяемое понятие относится как вид. Это первый этап в конструировании определения.

Второй этап в конструировании определения состоит в том, что указываются те признаки, которые отличают этот вид (определяемое понятие) от других видов ближайшего рода.

2. Генетический способ.

Генетическое определение – это такой вид определения, который указывает на происхождение определяемого объекта.

а) Цилиндр – фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг своей стороны.

б) Если на прямой взять точку, то она разделит прямую на две части, называемые лучами (Г₇).

При изучении математики в начальной школе определения через род и видовое отличие используется достаточно редко, это связано с возможностями детей. При изучении начальной математики чаще всего используются неявные определения, в которых содержание понятий раскрывается косвенным путем. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия.

Примером контекстуального определения может служить определение уравнения и его решения, приведенное в учебнике математики 2 класса, в котором после записи Квадратик + 6=15 и чисел 0,5,9,10идет текст «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получить 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х: х+6=15 – это уравнение. Решить уравнение, значит найти неизвестное число. В данном случае это число 9., так как 9+6=15.Объясни, почему числа 0,5,10 не подходят».

Остенсивные определения – это определения, раскрывающие существенные признаки предметов путем их указания, показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов. 2·7> 2·6, 78-9<78 (неравенства).

Если содержание понятия раскрывается в его определении, то процесс выяснения объема понятия называется классификацией. Т.е. под классификацией понимается разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды.

Правильная классификация предполагает соблюдение следующих условий:

1. Классификация проводится по определенному признаку.

2. Понятия, получающиеся в процессе классификации, должны быть независимыми, т.е. пересечение классов пусто.

3. Сумма объемов понятий, полученных при классификации, должна равняться объему исходного понятия.

n – Классификация треугольников по числу равных сторон, по величине наибольшего из углов: равносторонний, равнобедренный, произвольный; остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.

3. Ошибки в определениях:

1. Отсутствие указания на родовое понятие.