Монотонность, четность, нечетность, периодичность функции, нули функции

Определение предела функции. Основные свойства пределов

Опр. Функция - зависимость одной переменной от другой.

Опр. 8. Число b называют пределом функции f(x), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены функции, начиная с некоторого номера.

И обозначают:

Вычисление пределов функции. (основано на вычислении пределов последовательностей.)

, , если ,

Свойства пределов функции.

Если , , то

1. предел суммы равен сумме пределов:

2. предел произведения равен произведению пределов:

3. предел частного равен частному от пределов:

4. постоянный множитель можно вынести за знак предела: .

Пример. Найти пределы функции.

1) (свойство 2)

2) (свойства 1 и 4)

3) (делим почленно на высшую степень, и )

Опр. 9. Функцию у = f(х) называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение

Пример. Вычислить пределы функции.

Числовая функция.

Пусть X и Y Некоторые числовые множества

Если каждому по некоторому правилу F ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что Задана функция. Обозначается

Где Х – аргумент или независимая переменная функции; У – значение функции или зависимая переменная.

Множество Х значений независимой переменной называется Областью определения функции и обозначается или

Множество всех значений зависимой переменной Y называется Множеством значений функции и обозначается или

Частное значение функции при заданном частном значении аргумента обозначается

В случае задания функции формулой ее область определения – это ОДЗ выражения

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами где

Монотонность, четность, нечетность, периодичность функции, нули функции.

Свойства функции:

1. Четность и нечетность функции.

Функция называется Четной, если:

1) – симметричное множество относительно

2) для любого выполняется равенство

Функция называется Нечетной, если:

1) – симметричное множество относительно

2) для любого выполняется равенство

Если функция является четной или нечетной, то говорят, что Она обладает свойством четности.

График четной функции симметричен относительно оси график нечетной – относительно начала координат.

2. Периодичность функции.

Функция с областью определения называется Периодической, если существует такое число что для любого значения выполняются условия:

Число Т называется Периодом функции.

3. Монотонность функции.

Пусть Х 1, Х 2 – произвольные значения из области функции такие, что

Если при данном условии выполняется:

то функция называется Возрастающей;

– Убывающей;

– Неубывающей;

– Невозрастающей.

Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются Монотонными функциями (возрастающие и убывающие – строго монотонными).

Функция называется Кусочно-монотонной на множестве Х, если данное множество можно разделить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.

4. Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции.

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т. е. или ), называются Промежутками знакопостоянства.