Краткие теоретические сведения

Изучение

Физического маятника

 

 

Выполнили:

студенты группы Ф–14

Кукобникова В.В.,

Лобан А.А.

Цель работы: Исследование законов колебательного движения физического маятника и определение ускорения свободного падения.

Приборы и принадлежности: установка FPM-04, линейка.

 

Краткие теоретические сведения

Физическим маятником (ФМ) называется твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка О пересечения этой оси с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, в отсутствии сил сопротивления, уравнение движения ФМ имеет вид:

  (1)

где I - момент инерции маятника относительно оси качания,  - угловое ускорение маятника, m - масса маятника, l - расстояние от точки подвеса до центра масс маятника.

Ограничиваясь, случаем малых углов () из (1) имеем:

  (2)

где введено обозначение

Нетрудно убедится, что решением записанного дифференциального уравнения (2) является функция:

т.е. угол j отклонения ФМ от вертикали изменяется по гармоническому закону. Следовательно, период колебаний ФМ равен:

  (3)

Как известно, период математического маятника:

  (4)

Сравнивая (3) и (4) находим, что ФМ колеблется с тем же периодом, что и математический, имеющий длину:

  (5)

Длина математического маятника , имеющего тот же период колебаний, что и данный ФМ, называется приведённой длиной физического маятника.

Точка , лежащая на прямой, соединяющей точку подвеса и центр тяжести с ФМ, на расстоянии  от точки подвеса, называется центром качаний ФМ.

Точка подвеса О и центр качаний  ФМ принято называть взаимными точками ФМ, так как они обладают следующим свойством: если перенести точку подвеса маятника в центр качаний, то прежняя точка подвеса станет центром качаний, причём период колебаний ФМ при этом не изменяется.

Экспериментальная проверка формул (4) и (5) составляет одну из задач данной работы.

Получим формулы (4) и (5) для ФМ, выполненного в виде тонкого однородного стержня массой m и длины l. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости рисунка, равен . По теореме Штейнера находим, что момент инерции стержня относительно оси качаний:

  (6)

Подставим (6) в (4) и (5), приходим к соотношению:

  (7)

  (8)

  (9)

  (10)

Соотношение удобно для анализа и экспериментальной проверки. В частности, из анализа на экстремум функции (7) следует, что при:

  (11)

Период Т физического маятника является минимальным.

Выполнение работы

Упражнение 1

Проверка формулы периода колебаний иопределение приведённой длины физического маятника.

1) Определяем время t 10- 15 полных колебаний стержня. Результаты измерений заносим в таблицу 1 и определяем .

Таблица 1

№	N	t, (с)	T, (с)	h, (м)	l, (м)	Lпр, (м)
1	10	12,11	-	0,6	0,24	0,365
2	10	12,22
3	10	12,16
4	10	12,18
5	10	12,91
Ср. знач.	10	12,12	1,21	-	-	-

∆t = (12,12±0.0016) c.

2) По формуле , где N- число полных колебаний стержня, рассчитываем период колебаний ФМ.

с.

3) Измеряем длину стержня h и расстояние l от точки подвеса до центра тяжести, проверяем справедливость формулы (8).

; .

4) Пользуясь формулой (10) рассчитываем приведённую длину  ФМ.

5) Повернув верхний кронштейн установки на  и установив длину математического маятника  определяем период колебаний математического маятника. Результаты измерений заносим в таблицу 2.

Таблица2

№	N	t, (с)	Tмат, (с)
1	10	11,26	1,15
2	10	11,61
3	10	11,56
4	10	11,91
5	10	11,48
Ср. знач.	-	11,56	-

6) Сравниваем периоды колебаний физического и математического маятников.

Периоды колебаний физического и математического маятника, длина которого является приведенной длиной данного физического маятника, равны.

Упражнение 2

Исследование формулы периода колебаний ФМ.

1) Последовательно увеличивая расстояние L на 10 мм, измеряем время t 10-15 полных колебаний. Результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3

№	N	t1	t2	t3	Ср.знач. t	l, (м)	T, (c)
1	10	26,18	26,74	26,38	26,43	0,01	2,643
2	10	21,29	21,22	21,19	21,23	0,02	2,123
3	10	18,01	18,11	18,34	18,15	0,03	1,815
4	10	16,50	16,26	16,24	16,33	0,04	1,633
5	10	15,00	15,12	15,01	15,04	0,05	1,504
6	10	14,06	13,87	14,02	13,98	0,06	1,398
7	10	13,57	13,61	13,50	13,56	0,07	1,356
8	10	12,87	12,53	12,71	12,70	0,08	1,270
9	10	12,64	12,35	12,24	12,41	0,09	1,241
10	10	12,20	12,24	12,11	12,18	0,10	1,218
11	10	11,79	11,89	11,81	11,83	0,11	1,183
12	10	11,70	11,73	11,90	11,78	0,12	1,178
13	10	11,64	11,55	11,50	11,56	0,13	1,156
14	10	11,50	11,37	11,46	11,44	0,14	1,144
15	10	11,48	11,29	11,34	11,37	0,15	1,137
16	10	11,40	11,38	11,21	11,33	0,16	1,133
17	10	11,43	11,53	11,23	11,40	0,17	1,140
18	10	11,30	11,71	11,24	11,42	0,18	1,142

 

2) По результатам таблицы 2 строим график зависимости T.

l, см

Поведение графика объясняется на основании формулы .

 

3) По данным таблицы 2 строим график зависимости  от  и убеждаемся, что она является линейной.

, м

Вывод: исследовав законы колебательного движения физического маятника, определили, что время колебаний уменьшалось до определенного этапа, после чего оно опять стало увеличиваться; выяснили, что периоды колебаний физического и математического маятника, длина которого является приведенной длиной данного физического маятника, равны; период физического маятника не зависит от свойств вещества, из которого изготовлен ФМ, его массы, плотности, а определяется лишь расстоянием от точки подвеса до центра тяжести тела.