Общая схема для построения графиков функций

Урок математики (первый урок по теме)

В рабочей тетради записать дату и тему урока

Тема. Применение производной. Повторение

ЗАДАНИЕ. Изучить материал теоретической части, законспектировать

Применение производной

 

Применение производной при исследовании функции

На монотонность

Схема исследования ф-и на монотонность:

   1) Найти область определения ф-и

   2) Найти производную ф-и

   3) Решить уравнение f ′(x) = 0

   4) Нанести найденные точки (если таковые имеются) на числовой луч (точки

       закрашены)

   5) Просчитать знаки промежутков (подставляя числа из промежутков в

       производную)

   6) если «+» - ф-я возрастает

                 «-» -    убывает

   7) Если переход знака с «+» на «-» - точка максимума

                                         с «-» на «+» -      минимума

Примеры. Исследовать функцию на монотонность:

                   f (x) = x - x³

                       D (f) = R

                       f ′(x) = 1 – 3 x²

                       f ′(x) = 0 => 1 – 3x² = 0

                                            - 3x² = - 1

                                             x² = ⅓

                                             x = ± 1/√3

                                   -         +         -       x

                       - ∞       - 1/√3    1/√3     + ∞

      Ответ: ф-я возрастает [- 1/√3; 1/√3], убывает (- ∞; - 1/√3] и [1/√3; + ∞)

На экстремумы.

Схема исследования ф-и на экстремумы:

   1) Найти область определения ф-и

   2) Найти производную ф-и

   3) Решить уравнение f ′(x) = 0

   4) Нанести найденные точки (если таковые имеются) на числовой луч (точки закрашены)

   5) Просчитать знаки промежутков (подставляя числа из промежутков в производную)

   6) Если переход знака с «+» на «-» - точка максимума

                                         с «-» на «+» -      минимума

Пример. 1. Найти точки экстремума функции f (x) = 3x - x³

                       D (f) = R

                       f ′(x) = 3 – 3 x²

                       f ′(x) = 0 => 3 – 3x² = 0

                                            - 3x² = - 3

                                             x² = 1

                                             x = ± 1

                                   -         +         -       x

                       - ∞        - 1         1          + ∞

                      Ответ: хmax = 1; xmin = - 1.

 

Исследование функции и построение графика

Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции .

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. Найти асимптоты функции.

8. По результатам исследования построить график.

Пример.  Исследовать функцию и построить ее график:

.

Решение:

1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .

2) Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ: решим уравнение

.

с осью ОY:

3) Выясним, не является ли функция четной или нечет

ной:

.

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4) Функция непериодическая.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .

Критические точки: .

 

		-1		1
	+	0	-	0	+
		т. max 2		т. min -2

Критические точки: .

        

                                  у       

 

 

          х