II. Точки разрыва 2 рода

I. Точка разрыва 1 рода

Лекция 6. Непрерывность функции.

6.1. Понятие непрерывности функции в точке.

6.2. Точки разрыва, их классификация.

6.3. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

М₀

y = f(x)

у₀

Δу

х₀

х=х₀+Δх

Рис. 6.1

6.1. Непрерывность функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в точке х ₀ и в некоторой её окрестности. Значению аргумента х ₀ соответствует значение функции y = f(x), а на кривой точка М₀(х₀,у₀).

Дадим аргументу х ₀приращение Δ х (Δ х 0)

Значению аргумента х = х₀+ Δ х соответствует значению функции у = f (х) = f (х₀ + Δ х), а на кривой т. М(х,у) приращению аргумента Δ х соответствует приращение функции

Δ у = f(x ₀ + Δ х) – f(x ₀ ).

Определение. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х ₀, если она определена в этой точке и при Δ х → 0 приращение функции Δ у стремится к нулю, т. е.

(6.1.1)

Из равенства (6.1.2) и свойств пределов вытекает: для непрерывной функции

, откуда

т. е. предел функции при х → х ₀ совпадает со значением функции в

этой точке. На основании пределов следует необходимое и достаточное условие непрерывности в точке х ₀.

(6.1.2)

Если в точке х ₀ условия (6.1.2) не выполняются, х ₀ называется точкой разрыва функции f (x), а функция – разрывной в этой точке.

6.2. Классификация точек разрыва.

При анализе точек разрыва могут представляться следующие случаи.

1. Левый и правый пределы функции существуют, но не равны между собой, т.е.

(рис. 6.2)

2. Левый и правый пределы существуют, равны между собой, но не совпадают со значением функции в точке х ₀(рис. 6.3).

3.Левый и правый пределы функции существуют, равны между собой, но функция в точке х ₀ не определена (рис. 6.4).

х₀

Рис.6.2

х₀

Рис. 6.4

х₀

Рис.6.3

Во всех рассмотренных случаях (возможны и другие случаи) х ₀ называется точкой разрыва 1-го рода. Причем, в последнем случае х ₀ называется точкой устранимого разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов (или оба) равен бесконечности, х ₀ называется точкой разрыва 2-го рода.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность.

, х = 0 – точка разрыва

х ≤ 1

х > 1

, k > 0

, х = 0 – точка разрыва

В примерах 1 и 2 мы имеем точки разрыва первого рода. В примерах 3 и 4 – точки разрыва второго вида.

6.3. Свойства функций, непрерывных в точке.

1.Если f(x) и φ(х) непрерывны в точке х ₀, то их сумма f(x) ± φ(х), произведение f(x) · φ(х) и частное (φ(х₀) ≠ 0) являются непрерывными функциями.

Доказательство вытекает из свойств пределов и определения непрерывности функции в точке.

2.Если функция f(x) непрерывна в точке х ₀, то существует окрестность этой точки, где f(x) сохраняет знак.

3.Если функция у = f(х) непрерывна в точке х ₀, а функция u = φ(x) непрерывна в точке х ₀, то сложная функция f [ φ(x) ] непрерывна в точке х ₀.

Действительно,

, т.е сложная непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке замкнутого отрезка [а,b], называется непрерывной на всем отрезке [а,b].

Проиллюстрируем графически ее свойства.

Свойство 1. (Теорема Вейерштрасса)

Если функция у = f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a; b ], то она на нем ограничена (рис.6.9).

Рис. 6.9

Свойство 2. Если f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке наименьшего – m, и наибольшего – М значений.

Рис. 6.10

Т.е. существует т. ξ₁ [ a, b ] такая, что f(ξ₁)≤f(x) для любого х [ a, b ], f(ξ) = m; и на отрезке [ a, b ] существует ξ₂(ξ₂= а), такая, что f(ξ₂)≥f(x) для любого х [ a, b ]; f(а)=М. (рис.6.10)

Свойство 3. Если f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a; b], то она пробегает на нем все значения между наименьшим и наибольшим.

Пусть m < μ <M, μ – любое.

Рис. 6.11

Существует ξ, а <ξ<b такая, что f(ξ)=μ. (рис.6.11)

Свойство 4. Если непрерывная на замкнутом отрезке [a; b] функция меняет на этом отрезке знак, то на [a; b] найдется точка ξ, в которой f(ξ) = 0 (возможно и не одна) (рис. 6.12)

Рис. 6.12