Оптимизация выбора потребителя. Второй закон Госсена

Переходная экономика

Рыночная экономика

Фирмы нацелены на максимизацию прибыли. Размер прибыли зависит от действий наемных менеджеров.

Качественно отличается от двух первых. Предприятия ориентированы на выживание и на сохранение трудового коллектива. Формально не зависит от государственного бюджета.

Государство представлено правительственными учреждениями, осуществляющими юридическую и политическую власть для обеспечения контроля над хозяйственными субъектами и над рынком для достижения общественных целей.

Пусть - набор товаров, заданы вектор цен и доход потребителя .

Множество всех товаров, суммарная стоимость которых не превышает бюджет потребителя, называется бюджетным множеством: .

Утверждение 1. Бюджетное множество ограничено и замкнуто.

Множество всех товаров, суммарная стоимость которых равна доходу потребителя, называется границей бюджетного множества: (при границей будет отрезок, при - часть гиперплоскости).

Следует отметить, что зависит от и , но не зависит от системы предпочтений индивида.

Сформулируем задачу потребителя: при сложившихся рыночных ценах на товары , имея определённый доход , потратить деньги с максимальной пользой. Польза понимается в смысле системы его предпочтений или его функции полезности. Это приводит к следующей задаче математического программирования:

<=> . (8)

Поскольку – непрерывная функция, а бюджетное множество – ограничено и замкнуто, то достигает на своего максимума решение задачи потребителя существует.

Утверждение 2. Любая точка максимума (обозначим её ) лежит на границе бюджетного множества .

Доказательство: Допустим обратное: - точка максимума функции полезности , но , т.е. => потребитель имеет неиспользованное количество денег , на которые он может купить дополнительный набор товаров , причём из-за безграничной делимости товаров можно считать, что . Рассмотрим набор товаров , тогда , так как денег истрачено не более .

В силу свойства ненасытности: => =>- противоречие с тем, что - точка максимума => .

■

Утверждение 3. Если функция полезности - строго выпукла, то решение задачи потребителя существует и единственно.

Эта единственная точка максимума называется точкой спроса или просто спросом потребителя.

Решим задачу потребителя (задачу оптимизации целевой функции при заданном условии ). Составим функцию Лагранжа: ,

таким образом, исходная задача сводится к задаче нахождения безусловного экстремума. Найдём частные производные и приравняем их к нулю:

Итак, точка спроса лежит на границе бюджетного множества и характеризуется тем, что в ней вектор предельных полезностей пропорционален вектору цен (с коэффициентом пропорциональности ). Можно сказать иначе: в точке спроса отношение предельной полезности товара к его цене есть величина постоянная: . (9)

предельная полезность товара,

приходящаяся на одну ден. ед.

Значит, можно интерпретировать как предельную полезность добавочного дохода: - предельная полезность денег.

Если воспользоваться понятием предельной нормы замещения -го товара -ым, то в точке спроса:

(2 -ой закон Госсена), (10)

т.е. индивид сумеет достичь оптимальной структуры потребления, если свои личные субъективные предпочтения приведет в соответствие с объективно сложившейся ситуацией на рынке.

Пример 2.4. Пусть функция полезности имеет вид:

. Известны цены на товары и доход: , , . Найдите точку спроса. Как изменится полезность, если цена на первый товар снизится до 10 ден. ед., а на

второй товар – увеличится до 5?

Решение: Сначала найдём точку спроса для первоначальных цен. Для этого воспользуемся вторым законом Госсена: :=.

и => =>

=> и .

Итак, первоначальная точка спроса .

Аналогично находим новую точку спроса, соответствующую изменившимся ценам:

=> => .

Таким образом, потребление первого товара увеличилось на 0,5 ед., а потребление второго товара уменьшилось на 2 ед.

Изменение полезности можно оценить приближенно с помощью дифференциала функции полезности:

Более точно определить изменение полезности, можно вычислив приращение функции:

■

Функции , ,…, называются функциями спроса Маршалла. Если в функции полезности заменить на , то получим так называемую косвенную функцию полезности: .

Задачу потребителя можно сформулировать иначе: выбрать из одинаково полезных наборов самый дешёвый. Математически это можно записать так:

- задача на нахождение условного экстремума, которая может быть решена аналогично предыдущей с помощью множителей Лагранжа. Её решения:

, ,…, называются функциями спроса Хикса. Для них можно определить минимальный расход на оптимальный потребительский набор:

- функция расходов.

Пример 2.3. Пусть , заданы доход и вектор цен . Найти:

а) функции спроса Маршалла и косвенную функцию полезности;

б) функции спроса Хикса и функцию расходов.

Решение:

а) запишем задачу потребителя при заданных ценах на товары и доходе потребителя: .

Для нахождения условного экстремума запишем функцию Лагранжа:

В точке экстремума должно выполняться условие:

=> => .

Отсюда получим функции спроса Маршалла:

и .

Зная спрос на товары, можно определить соответствующую функцию полезности:

которую называют косвенной функцией полезности.

б) В данном случае задача потребителя формулируется так: выбрать из одинаково полезных наборов самый дешёвый. Запишем это математически:

Для нахождения условного экстремума запишем функцию Лагранжа:

В точке экстремума должно выполняться условие:

=> => .

Отсюда получим функции спроса Хикса:

Для них определим минимальный расход на оптимальный потребительский набор:

Полученная функция называется функцией расходов.

■

Пример 2.5. Функция полезности имеет вид: ,

где - минимально необходимое количество -го блага, которое

приобретается в любом случае и не является предметом выбора; - характеристика относительной ценности блага для потребителя. Найти функции спроса Маршалла, считая заданными доход и цены .