Основы дисперсионного анализа

В настоящее время дисперсионный анализ определяется как статистический метод, предназначенный для оценки влияния раз­личных факторов на результат эксперимента, а также для после­дующего планирования аналогичных экспериментов.

Первоначально (1918 г.) дисперсионный анализ был разра­ботан английским математиком-статистиком Р.А. Фишером для обработки результатов агрономических опытов по выявле­нию условий получения максимального урожая различных сор­тов сельскохозяйственных культур. Сам термин «дисперсионный анализ» Фишер употребил позднее.

По числу факторов, влияние которых исследуется, различа­ют однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ.

В дисперсионном анализе общая вариация изучаемого признака подразделяется на составляющие и проводится сравнение этих составляющих. Проверяемая гипотеза заключается в том, что если данные каждой группы представляют случайную выборку из нормально распределенной генеральной совокупности, то величины всех частных дисперсий должны быть пропорциональны своим степеням свободы и каждую из них можно рассматривать как оценку генеральной совокупности.

В случае выделения групп по одному фактору мы имеем так называемый однофакторный дисперсионный комплекс. Разложение дисперсии при этом проводится в соответствии с правилом сложения дисперсии:

,

где - общая сумма квадратов отклонений,

- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией

(факторная);

- остаточная сумма квадратов отклонений.

На основе разложения дисперсии в соответствии с гипотезой отсутствия различий между группами могут быть получены три оценки генеральной дисперсии, пропорциональные степени свободы: на основе общей вариации, межгрупповой (факторной) и внутригрупповой (остаточной).

Число степеней свободы равно:

· для общей вариации df_общ = n – 1;

· для межгрупповой (факторной) вариации df_факт = m – 1;

· для внутригрупповой (остаточной) вариации df_ост = n – m.

Как и суммы квадратов отклонений, числа степеней свободы связаны между собой равенством: df_общ = df_факт + df_ост или n – 1=(m – 1)+(n – m).

Деление суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы дает три оценки генеральной дисперсии:

, , .

Поскольку измеряет вариацию результативного признака, связанную с изменением фактора, по которому проведена группировка, а – вариацию, связанную с изменением всех прочих факторов, сравнение этих величин, рассчитанных на одну степень свободы, дает возможность оценить существенность влияния признака-фактора на результативный признак с помощью F -критерия:

.

Данная запись предполагает, что ≥

Полученное значение F -критерия сравнивается с табличным значением F_табл -критерия. Если F_табл‹ F_факт, то гипотеза Н₀ о равенстве выборочных дисперсий генеральной дисперсии отклоняется, признается существенным, статистически значимым влияние признака-фактора на результативный признак.

F_табл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы () и уровне значимости , который принимается равным 0,05 или 0,01.

Если же величина F окажется меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня, и она не может быть отклонена без риска сделать неправильный вывод о наличии связи.

Этапы однофакторного дисперсионного анализа представлены в таблице.

Источник вариации	Сумма квадратов отклонений	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы (средний квадрат отклонений)	F -критерий
Общая		n – 1		-
Факторная (между группами)		m – 1
Остаточная (внутри групп)		n – m		-