Тема: Усеченная пирамида. Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды

 

Цели урока:

образовательная: познакомить учащихся с геометрической фигурой - пирамида, изучение элементов пирамиды (основание, вершина, боковые ребра, высота, тетраэдр), ввести историческую справку, познакомить учащихся с формулой нахождения объема;

развивающая: формирование умений и навыков пользоваться математическими инструментами, решение задач на построение пирамиды, ее сечения;

воспитательная: данная тема способствует воспитанию любознательности, усидчивости, сообразительности, внимательности и развитию интереса к математике, формирование аккуратности в построении математических фигур.

Литература: Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М., 2014.

Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 кл. М.: Просвещение, 2014 г.

Ход урока

 

1. Изучение нового материала

 

Историческая справка

Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис» в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - огонь. В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид.

 

Основные понятия

Сейчас же пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основание пирамиды; точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания – боковыми ребрами. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Треугольная пирамида называется тетраэдром.

Например, у пирамиды основание – А1А2…An, вершина - S, боковые ребра - SА1,SА2…, боковые грани - ∆SА1А2, SА1An. (рис. 1)

 

Рисунок 1

 

2. Усеченная пирамида

 

Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.

 

Свойства усеченной пирамиды:

Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.

Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.

Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.

Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.

Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.

 

 

Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды

Пусть CH — высота усеченной пирамиды, P1 и P2 — периметры оснований усеченной пирамиды, S1 и S2 — площади оснований усеченной пирамиды, S бок — площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, S полн — площадь полной поверхности усеченной пирамиды, V — объем усеченной пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

 

Если все двугранные углы при основании усеченной пирамиды равны β а высоты всех боковых граней пирамиды равны h бок, то

 

 

Задача 1.

 

В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

Задача 2.

 

В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1: 2?

 

Задача 3.

 

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 1, а высота равна 3. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.