О построение классической механики

О построение классической механики.

Часть нулевая. Предисловие:

Важнейшее отличие человека от всего прочего мира состоит в его способности мыслить. Мышление для человека это не просто инструмент преобразования и выживания, это и есть он. Поэтому очень важно разбираться с информационными моделями, используемыми для анализа, так как это не просто способ рассчитать прочность моста, или вероятность попасть по противнику, это прежде всего способ существовать. Логическое мышление оперирует 4-мя типами понятий: 1) Фундаментальные. Их нельзя ни доказать, не сформулировать. Это отправная точка логики. К таким понятиям причисляют: Существование, число, пространство, точка … 2) Постулаты. Это тезисы формируемые из фундаментальных понятий, то есть их можно четко сформулировать, но нельзя доказать. К таким относят например закон гравитации. Их обычно высказывают на основаниях многократного наблюдения свойств симметрии итд 3) Теоремы. Суждения формируемые из базовых понятий, доказываемые при помощи постулатов. Например теорема Пифагора. 4) Гипотезы. Тезисы, не имеющие доказательств и оснований считаться постулатами, однако которые по каким то причинам могут иметь место быть. Например, на марсе атмосфера более разряженная. Марс меньше Земли, значит, быть может, обладает меньшей массой. Но с другой стороны, а вдруг у него больше плотность? И пока не будет точных соображений, например расчета массы исходя из законов Механики, это будет оставаться гипотезой.  Само мышление происходит при переводе гипотез из класса гипотез в класс теорем на основании существующих постулатов и фундаментальных понятий. Этот переход совершается в соответствие с формальной логикой, то в нем не может нарушаться математика. Если мы получаем математическое противоречие, значит выбранная система постулатов не совместна.

Так же следует отметить, что структура познания стремиться к наиболее полному описанию, при наименьшем количестве постулатов. Формальная строгость перехода от системы постулатов к системе теорем гарантирует во-первых степень верности результатов в границе применимости постулатов, что очень важно, во-вторых позволяет предсказать то, о чем вы не думали, но что тоже следует из постулатов. И в третьих, только логически выверенная концепция позволяет точечно показать место несостыковки твоего понимания мира и действительного положения дел. Не говоря уже о том, что, как уже было сказано, мышление это не только способ предсказать что-то, это жизненный путь.

В известном мне курсе механики, я обнаружил нестрогость изложения. Которая встречается как в речи лекторов в ВУЗе, так и в соответствующей литературе.

 

Часть первая. Постановка проблемы:

Проблема Первая: Очень часто в физике встречается следующая цепочка рассуждений: Известно, что если b=const,то f(x)=b*g(x). А если b ≠ const? Скажем, что при малых Δx будет выполнено: Δf(Δx) ≈ b*Δg(Δx). Значит в пределе Δx->0 будет точно, f=  . Но это безосновательный переход. Действительно, нам известно, что 1)b=const, то f(x)=b*g(x) 2) f(x) существует при b=b(x) 3) f(x) непрерывна. (2-й и 3-й пункт можно смело приписывать всем физическим функциям известным). НЕТ никаких оснований полагать, что: Δf(Δx) ≈ b*Δg(Δx), потому что нам ничего не сказано про поведение f(x) при b ≠ const. И даже больше, даже если у нас выполниться это равенство, то строго говоря мы имеем:           Δf(Δx) = b*Δg(Δx) +о(Δx) и тогда:  =  Δg +  и в пределе:  =  +  (n -> +∞,при Δx ->0), тогда f(x)= . Но нет никаких оснований полагать, что .

Далее я могу сказать, что f(x)=sin(g)*2b, будет ли эта функция удовлетворять условиям        1-3? Видно, что да. Однако в общем случае это явно не обязано совпадать с  .

Где же возникает такое построение мысли?

1) A=Fx, F=const => A=

2)  =  x, G=const => l  (G-механическое напряжение, E -модуль Юнга, x-длина стержня находящегося под напряжением G, l -изменение этой длины из-за деформаций)

3) F=qS, q=const => F  (q-распределенная нагрузка)

Обоснование формул, полученных такими 3-мя “переходами”, будет дано в дальнейшем изложении.

Проблема вторая: Рассмотрим следующую задачу: Однородная цепочка, подвешенная одним своим концом к потолку, а вторым касающаяся пола, начинает падать. Вопрос: какой импульс она передаст поверхности, когда упадет? Решение данной задачи представляется следующим: Рассмотрим малый элемент цепочки длиныΔl, его импульсΔp . Дальнейшее решение базируется на этом. Но,однако встает вопрос, почему импульс цепочки, какой бы короткой она не была, равен импульсу материальной точки? (Материальной точки, потому что для нее есть равенство p=mv, ни для чего другого это понятие не определенно). Быть может, кто то захочет меня поправить, сказав, что мы рассматриваем “бесконечно малые”, а не конечно малые элементы цепочки, на что я с уверенностью могу ответить, что в согласии с введением числовой оси, “бесконечно малых” величин не существует, есть либо нулевая, либо конечно малая величина. Можно привести и другой пример: Найдем момент инерции однородного кольца. Выделим малый элемент длиной Δl,его момент инерции Δl Δm * . Но тут возникает такого-же рода проблема: ни для какого малого элемента кольца, кривая не будет точкой, а момент инерции определен исключительно для точки.

Если рассуждать дальше, то можно задаться вопросом: Что такое инертная масса? Это коэффициент пропорциональности во Втором Законе Ньютона, написанным для материальной точки. И на этом моменте, необходимо констатировать, что в таком понимании вопроса, фраза “ шар, балка, стул имеют массу …” попросту лишены смысла, ведь масса была введена только для материальных точек. Можно сказать: “если считать стул материальной точкой, его масса … “. Но как только стул требуется взять не точкой, а это скорее всего так, потому что для стула все таки важны его геометрические параметры, мы не сможем так сказать.

 

Часть вторая. Причинность проблем:

Проблемы озвученные первыми, будут разрешены после того, как будет построено здание механики. Для этого займемся решением второй проблемы.

Понятие точки фундаментальное, поэтому пытаться формализовать это понятие скорее всего не удастся. Однако ясно, чем меньший элемент материи считать точкой, тем ближе это будет отвечать действительности. Это следует из наших наблюдений за миром. Если мы кинем лом, то он будет лететь и вращаться, и важно как он попадет в цель. Если боком это одно, а если острием-совсем другой. Если мы кинем кирпич, то вопрос вращения еще будет нас интересовать, но уже в меньшей мере. А если речь идет например о камушке размером около 2-3 см, то мы уже не будем задумываться о его конфигурации. Кинул- если попал в окно, то разбил и не важно какой частью. То есть для описания броска камня, в данных условиях, нам достаточно одной скалярной функции координаты точки. Так вот, для тел, для которых информация может быть представлена в виде уравнения движения точки, можно сформулировать и написать 3 закона Ньютона. И выполнятся они будут в тем бОльшей мере, чем с бОльшей точностью тело можно считать точкой.  А что если тело, нельзя считать материальной точкой? Что ж, в таком случае можно представить это тело как совокупность взаимодействующих между собой элементов, которые, при определенной мелкости разбиения, можно считать материальными точками.

 

Часть третья. Динамика поступательного движения:

Для системы из “n” материальных точек можно ввести понятие центра масс:

=  и можно легко доказать, что для этой функции имеет место равенство:

 =

В случае разбиение тела на элементы, вспомним, что чем мельче разбиение, тем точнее равенство отвечает действительности. Так мы можем производить последовательность разбиений с максимальным размером элемента “ λ ”. Тогда, мы можем перейти к пределу последовательности разбиений:

Обозначим =

.=

Прежде чем рассматривать дальше, мы введем функцию .

 

Для простоты рассмотрим непрерывный стальной стержень. Разобьем его на достаточно малые элементы, что бы считать их материальными точками. Мы можем выбрать любую геометрическую точку стержня, поместить туда материальную точку, сопоставив ей материю, расположенную на некоторой площади, рядом с этой точкой. Таким действием мы либо уменьшим разбиение, либо не изменим его, если точка в том месте уже была. Будем далее измельчать разбиение, с учетом того, что F =  , m =  , S=  Где Назову m =  массой стержня,       F =  -равнодействующей силой, действующей на стержень.

Рассмотрим такую длину стержня, для которой он может считаться материальной точкой. Скажем это 1(см). Будем измерять массу стержня считая его материальной точкой длины x<1(см). Для каждой такой длины мы получим некоторое числовое значение. Оно и будет задать массу стержня на участке 1(см). Далее присоеденим к нашему стержню еще 1(см) его длины. Будем измерять массы точки, которой сопоставляем участок длины [1;x] x<2 (см). Так у учетом того, что m= , определим функцию массы стержня уже на участке [0;2]. И так до конца стержня. (Не обязательно что бы все таким рассматриваемые части были конкретной длины, достаточно, что бы они были любой длины, такой, что бы их можно было считать в условиях задачи, материальными точками).

Полученная функция будет непрерывной(так как масса тела, как мы наблюдаем, не изменяется скачкообразно), и не зависящей от самого способа разбиения. Последнее выполняется в силу аддитивности массы системы материальных точек. Речь идет о том, что если мы посчитаем массу материальной точки, которой ставится в соответствие 2(см), то мы получим тот же результат, если посчитаем сумму двух точек 1(см) и 1(см). Так как эта функция непрерывна у нее существует производные в каждой точке. Возьмем например точку на расстояние 4(см), положим в нее материальную точку, которой сопоставим длину стержня 0.5(см) вправо и влево. Эта масса есть приращение массы стержня на интервале [3.5;4.5]. Будем писать,  . Ясно, что при ->0 будет: ->0. Однако существует  = ρ.  То есть ρ= ρ(x) является производной массы стержня и связана с ней соотношением: m = .

Аналогично дело обстоит с силами, действующими на стержень. Измеряем, силу на длинах меньших, длины того, что можно считать точкой, а затем прибавляем последующие точки. Так получаем, пока скажем непрерывную функцию силы. Ясно, что при ΔS->0,  ->0.Тем не менее, существует  = q.То есть q=q(x) - производная от силы. Тогда сила, действующая на стержень F=  . Однако в данной ситуации, не следует ограничиваться непрерывностью. Иногда удобно считать силы сосредоточенными. Говоря, что сосредоточенная сила F действует на тело, имеют ввиду, что  = ∞ для той точки, про которую так сказали. И  ->const. То есть если взять материальную точку и устремить у нулю, сопоставляемую ей длину тела, то сила действующая на нее будет стремиться не к 0,а к какому-то числу.(не нулевому). Тогда если на тело действуют только сосредоточенные силы, будет верно: F = = . 

Необходимо рассмотреть, что произойдет, если будет некоторое количество интервалов с распределенной и сосредоточенной нагрузками. Например пусть на интервале [a;b] будет действовать распределенная сила, на интервале [b;c] будет действовать распределенная сила и вместе с тем, будет приложено H сосредоточенных сил (то же что сказать, будет H точек для которых  = ∞), а на интервале [c;d] будет N сосредоточенных сил.

 =  + +  ]

Тут под  обозначена сумма сил действующих на материальные точки, расположенных на интервале распределенных сил, а - равнодействующая сила на интервале сосредоточенных и распределенных сил, посчитанная как сумма сил со сторон распределенной и точечной нагрузок.

 =  + + +  ] = + ) + ( +  ) ] =  +  + +  

Таким образом,  =  + .

Вообще говоря можно так же доопределить массу, для учета тел, в которых очень большая разность плотности.

Перед тем, как мы перейдем к следующему параграфу, обозначим, что мы имеем:

Есть точка сопоставляемая непрерывному твердому телу =

Для нее можно записать равенство: =

Где:

1)  ,где под плотностью имеют ввиду ρ(x) =  , и называющаяся массой непрерывного тела.

  2) =  +  , и называющаяся равнодействующей силой действующей на непрерывное тело.

Пояснение к пункту №2:

Говорят, что состоит из интеграла распределенных сил и суммы сосредоточенных сил.

Говорят, что в точке тела действует распределенная сила интенсивностью q, если  = q

Говорят, что в точке тела действует сосредоточенная сила  = если  = ∞.

 

Часть четвертая. Динамика вращательного движения:

Для системы из “n” материальных точек, можно написать равенство:

ε = *  

Для непрерывных тел, существует такое разбиение, при котором, это равенство будет отвечать действительности. Но для наибольшей достоверности, перейдем к пределу.

ε *       

Если я задам r -расстояние до точки стержня, то однозначно скажу массу. И наоборот, если я скажу массу стержня, я тут же могу сказать, какую длину его надо взять, что бы получить такую массу. Так существует непрерывная функция r(m), и соответственно (m). Чему равна площадь  ? Прямоугольнику на графике (m), в котором  -произвольное приращение аргумента, а  -произвольное значение функции на этом интервале. Тогда становиться ясно, что  =  и аналогично *  =  =  . В случае сосредоточенных сил их отдельно выносят за знак предела и прибавляют сосредоточенные моменты.

Тут важно оговорить, что несмотря на то, что вывод был показан ля стержня, он может быть использован для любого тела, для которого можно найти соответствующую функцию r(m). Например для плоских фигур, это может быть радиус окружности.

Так же следует сказать, что фраза, возьмем бесконечно малый элемент стержня массой dm, его момент инерции dI=  это способ счета, основанный на том, что точечное представление несет в себе основную информацию о малых элементах. И чем меньше эти элементы, тем бОльшую часть информации она несет. Под dm следует понимать просто , достаточно малой части материи, что б ее можно было считать материальной точкой. А dI это момент инерции этой части материи, обладающий тем свойством, что I=  при чем, чем меньше dI, тем точнее будет сумма. Поэтому I =

 

 

Часть пятая. Дополнение:

1)После изложенного вопрос о формуле F  становиться уже решенным.

2)Что касается работы, то не будет никаких проблем, если сказать, что A=  это определение работы. Тогда A=Fx F=const, будет следствием, при чем никакие формулы использующие это понятие не изменяться.

3)  =  x, G=const =>  . Для того, что бы избавиться от математической нестрогости, следует понять по наблюдениям, не что  =  x, G=const, а что  =  .

Я считаю необходимым как можно более строгое изложение на основании полученных данных и конечно, лучше брать те данные, на основании которых не придется что-то додумывать от себя.