Замечание. Данное утверждение называют пространственной теоремой Пифагора

ранее мы с вами уже познакомились с параллелепипедом. Напомню, что параллелепипед – это четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Выяснили, что если все боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани – прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым. Если параллелепипед не является прямым, т.е. если все его боковые ребра не перпендикулярны к плоскостям оснований, то он называется наклонным. Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямоугольным.

А также узнали, что параллелепипед обладает следующими свойствами:

1) противолежащие грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях.

2) диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Сегодня мы подробней рассмотрим прямоугольный параллелепипед и выясним, какими свойствами он обладает.

Давайте представим себе комнату, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. Если говорить о ее размерах, то обычно употребляют слова «длина», «ширина» и «высота». Имея в виду длины трех ребер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

В качестве его измерений можно взять, например, длины ребер DA, DC и DD₁, все эти ребра имеют общую вершину D.

Как вы уже знаете у прямоугольника два измерения – длина и ширина.

При этом напомню, .

Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед . И докажем, что – диагональ параллелепипеда, а, b и c – ребра, имеющие общую вершину.

Пусть , , .

,

– прямоугольник.

Из по теореме Пифагора имеем .

Из по теореме Пифагора имеем .

Замечание. Данное утверждение называют пространственной теоремой Пифагора.

Рассмотрим еще одно свойство, иллюстрирующее аналогию между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений.

Оказывается, что аналогичное утверждение справедливо и для прямоугольного параллелепипеда: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Кавальери.

Рассмотрим сначала прямоугольный параллелепипед с измерениями а, b, 1 и куб с ребром 1, «стоящие» на плоскости α. Этот куб является единицей измерения объемов, т.е. его объем равен 1. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости α, дает в качестве сечения куба квадрат площади равной 1, а в качестве сечения рассматриваемого параллелепипеда – прямоугольник площади равной произведению ab. Следовательно, согласно принципу Кавальери, объем этого параллелепипеда в а на b раз больше объема куба, т.е. равен ab.

Рассмотрим теперь два прямоугольных параллелепипеда: один с измерениями а, b, 1, а другой – с измерениями а, b, c, «стоящие» на плоскости α так, как показано на рисунке. Объем первого параллелепипеда, как было доказано, равен ab. Докажем, что объем второго параллелепипеда равен abc.

Любая секущая плоскость, параллельная плоскости α, дает в качестве сечения первого параллелепипеда прямоугольник площади равной , а в качестве сечения второго – прямоугольник площади равной произведению . Поэтому объем второго параллелепипеда в c раз больше объема первого и, следовательно, равен . Что и требовалось доказать.

В прямоугольном параллелепипеде с измерениями а, b, c, изображенном на рисунке, площадь , а высота . Поэтому формулу можно записать в виде , т.е. объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Оказывается, что такая же формула имеет место для любой призмы: объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Задача. прямоугольный параллелепипед. Определите чему равна диагональ , если параллелепипед имеет измерения см, см и см.

Решение.

Напомню, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

(см)

Ответ: (см).

Задача. прямоугольный параллелепипед, основание – квадрат. Объем см³. Определите высоту прямоугольного параллелепипеда, если см.

Решение.

На этом уроке мы доказали, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Выразим из формулы высоту.

(см²)

(см)

Ответ: (см).

Подведем итоги урока. На этом уроке мы подробно рассмотрели прямоугольный параллелепипед. И выяснили, что прямоугольный параллелепипед обладает свойствами, иллюстрирующими аналогию с прямоугольником. А именно квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. И объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений. А также объем прямоугольного параллелепипеда можно вычислить как произведение площади основания на высоту.